文档介绍：浅谈对导数应用的几点看法
合阳县黑池中学宋崇辉
【摘要】在高中阶段,导数在数学中重点用于求曲线的切线、函数的单调性、极值、最值。在求函数单调性与极值步骤过程中“一些细节问题”,如求函数单调区间、利用单调性解决含参范围中端点取舍与求极值中判断导函数根两侧的符号等,是解决问题值得注意的主要环节。也是正确解决问题的关键。
【关键词】导数单调性极值与最值
导数(导函数的简称)是一个特殊函数,新课程增加了导数的内容,随着课改的不断深入,导数知识考查的要求逐渐加强,函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体,来考查学生的创新能力和探究能力的试题。在高中阶段,导数在数学中重点用于求曲线的切线、函数的单调性、极值、最值。在求函数单调性与极值步骤过程中“一些细节问题”,如求函数单调区间、利用单调性解决含参范围中端点取舍与求极值中判断导函数根两侧的符号等,是解决问题值得注意的主要环节。也是正确解决问题的关键。本人结合教学实践,就导数在函数中的应用作个初步探究。
求函数单调区间。可导函数在某个区间内,
(1)若0,则在此区间上单调递增;
(2)若0,则在此区间上单调递减;
(3)若=0,则为常函数
因为,在R上为单调递增但;
,在R上为单调递减但。
所以, 其中(1)、(2)为充分不必要条件,(3)为充要条件,故利用导数求函数单调区间,令0解增区间,令0解减区间就有些不完善,不具体,虽在求函数增减区间中对端点闭开都行(有定义一般为闭),但利用单调性求参范围就会出现错误。为了解决上述问题:
求函数单调区间:若函数不是常函数且在某一定义段上函数值不是定值(常函数不具有调性),步骤如下:
第一步:先求定义域(若为R可省略不写),再求,
第二步:令0解之增区间,令0解之减区间。
第三步:回答增减区间。
求参范围:已知在某区间上的单调性求参范围,应令0(或0)在此区间上恒成立,解之参数范围,应检验参数端点取值能否使恒等于0,若能,应舍去此数;否则,留。
例题分析:
已知函数,①求单调区间;②求的最小值。
解析:函数的定义域为(0,+), =.
令0即0解之,函数增区间为,+ );
令0即0解之,函数减区间为(0,
+
-
0
②令=0,解之:,
由图可得,在(0,+)上有且只有一个极值点且为极小值点,故此点处取最小值, 当时,-。
点评:易错处忘记求定义域,减区间错写为(-,。
若在,+)上是减函数, 则得取值范围是(C )
A. ,+) B. ,+) C.(-, D.(-,-1)
解析:=,由题意可得:0在,+)上恒成立即:0从而,=-1,则-1,检验当=-1时,不恒等于0,所以,-1,选C。
点评:若令0在,+)上恒成立解之得到错答案为D.(-,-1)
导函数求极值与最值。求函数极值一般情况下,步骤为:
第一步:求出导数; 第二步:解方程=0的根;
第三步:分析方程=0每一个根左右两侧的符号(即的单调性),确定极值点:
若在两侧的符号“左正右负”则为极大值点;
若在两侧的符号“左负右正”则为极小值点;
若在两侧的符号相同,则为不是值点极值点。
其中有个细节问题:如何分析左右两侧的符号?共两种方法:
第一种:在每个区间中取特殊值求值判断;
第二种:利用解高次不等式中的穿针引线法(无意义的根也需标出)
①最高项系数为正数时,从右到左开始间隔标“+,-”;若最高项系数为负数时,从右到左开始间隔标“-,+”若遇到偶次根不变号。
②根据正负标出原函数增减性,见“+”标“↗”;见“-”标“↘”。
例题分析
3.=在区间上的最大值点为: ( )
A. B. C. D.
解析:=1-, 令=0即=, ,
0
+
-
由图可得,在上有且只有一个极值点且为极大值点,故此点处取最大值,最大值点为:
点评:判断在(0,)与(,)上的符号用特殊值法。
=的极值。
解析: 定义域为:R ; = 令=0解之:,
-
+
+
-
1
0
当=0及=2时,不存在。
由=0,,=2将定义域分成四个区间,、的变化情况如下表:
(-,0)
o
(o, 1)
1
(1,2)
2
(2,+)
-
不存在
+
0
-
不存在
+
极小
值0
极大值1
极小
值0
当=0或=2时,=0; 当时,
点评:=0是函数在点处有极值的既不充分也不必要条件。
易错:遗漏当=0或=2时,=0;故无意义的根也需标出。因为在无意义的根时有意义,有可能取到极值。
=在上的最大值与最小值。
解析:==, 令=0得:=1,=-2(舍)