文档介绍：西华大学研究生课程考试试题
课程名称: 计算方法考试类型(考试或考查): 考试
年级: 2011 学时: 54 考试时间: 120
专业: 学生姓名: 学号:
一、(8分)计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
, , , 。
解: 方法一
设,若,,则。
若通过计算值,即计算函数在处的值,由于,故,得
;(2分)
若计算值,即计算函数在处的值,由于,故得
;(2分)
若计算值,即计算函数在处的值,由于,故得
;(2分)
若计算值,即计算函数在处的值,由于,故得
;(2分)
比较4个结果得,通过计算得到的结果最好。
方法二
根据数值计算原则:(1)避免两个相近的数相减;(3分)(2)简化计算步骤,减少运算次数。(3分)
可以判断得出:通过计算得到的结果最好。(2分)
二、(10分) 设
计算,,
解: ,(6分)。由于是对称矩阵,所以(2分),而的特征值为,故(2分)
三、(10分)为求方程在附近的根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式。
(1),迭代公式; (2),迭代公式。
试分析每种迭代公式的收敛性。
解:考虑区间(2分)。
(1)当时,,,故迭代在上收敛。(4分)
(2)当时,令,
。
故迭代发散。(4分)
四、(10分)用分解法求解方程组:
。
解:设,,,。
(1)对进行分解,
。(4分)
(2)解方程得:;(3分)
(3)解方程得:(3分)
五、(10分)线性方程组:
考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解此方程组的收敛性。
解:1、,的特征值为,。故Jacobi迭代收敛。(5分)
2、,的特征值为,,。故Gauss-Seidel迭代发散。(5分)
六、(10分)现在你没有计算器,也没有计算机。请你用线性插值和二次插值计算出的近似值,并估计误差。
解:问题可化为:已知函数在的值,通过插值法求函数在的值。
(1)线性插值:
43介于36与49之间,以,为节点,进行线性插值得,于是,
误差为:。(5分)
(2)二次插值:
离43最近的三个节点为:25,36 49,用这三个节点进行二次失插值得
,于是,
误差为:。(5分)
七、(8分)已知的数据表如下:
-2
-1
0
1
2
0
1
求一次式,使得为的最小二乘一次近似;
解:记,,,要使为的最小二乘一次近似,为超定方程的最小二乘解。(4分)
超定方程的法方程为,解之得: (2分),最后得为的最小二乘一次近似。(2分)
八、(8分)如果,证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大,并说明其几何意义。
证明:由梯形公式的余项
,,(3分)
知若,则,因而
,
即用梯形公式得到的结果比准确值大。(3分)
从几何上看,,为下凸函数,曲线位于对应弦的下方,此时梯形面积大于曲边梯形的面积。