文档介绍：§
(1)二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式
(4)二元一次不等式(组)的解集是有序实数对,而点的坐标也是有序实数对,因此,有序实数对就可以看成是平面内点的坐标,进而,二元一次不等式(组)的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
(2)二元一次不等式组:有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
(3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序实数对(x,y),所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。
复面区域:
一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式
表示直线
不等式表示的平面区域包括边界,
把边界画成实线。
某一侧所有点组成的平面区域,我们把直线画成
虚线,以表示区域不包括边界。
特殊地,当
,常把原点作为此测试点。
作为测试点,由
的符号
对于直线同一侧的所有点,
把它的坐标代入
所得的符号
就可以断定表示的是直线
都相同,因此只需在此直线的同一侧取某个特殊点
哪一侧的平面区域。
三、平面区域的确定:
确定不等式表示区域的基本步骤:
(2)测试点法确定区域;
(1)确定边界;
特别注意:
包括边界时,边界用实线;
不包括边界时,边界用虚线。
例如:某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由已知条件可得二元一次不等式组:
(1)用不等式组表示问题中的限制条件:
(2)画出不等式组所表示的平面区域:
如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)
就代表所有可能的日生产安排。
3
2
8
4
1
2
6
4
进一步,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
(3)提出新问题:
设生产甲产品x件,乙产品y件时,工厂获得的利
润为z,则z=2x+3y.
这样,上述问题就转化为:
当x,y满足不等式(1)并且为非负整数时,z的
最大值是多少?
把z=2x+3y变形为
这是斜率为在y轴上的截距为的直线。
当z变化时,可以得到一组互相平行的直线,
如图,
由于这些直线的斜率是确定的,因此只要给定一
个点,(例如(1,2)),
就能确定一条直线
一个点的坐标唯一确定。
这说明,截距可以由平面内的
可以看到,直线
与不等式组(1)的区域的交点
满足不等式组(1)
而且当截距最大时,
z取得最大值。
3
2
8
4
1
2
6
4
M
因此,问题可以转化为当直线
与不等式组(1)确定的平面区域有公共点时,在区域内找一个点P,使直线经过点P时截距最大
x=4与直线x+2y-8=0的交点M(4,2)时,截距
由上图可以看出,当直线
经过直线
的值最大,最大值为
这时2x+3y=14.
每天生产甲产品4件,
乙产品2件时,工厂
可获得最大利润14
万元。
3
2
8
4
1
2
6
4
M