文档介绍：知识点整理
(一)平行与垂直的判断
(1)平行:设的法向量分别为,则直线的方向向量分别为,平面
线线平行∥∥;线面平行∥;
面面平行∥∥
(2)垂直:设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则
线线垂直⊥⊥;线面垂直⊥∥;
面面垂直⊥⊥
(二)夹角与距离的计算注意:以下公式可以可以在非正交基底下用,也可以在正交基底下用坐标运算
(1)夹角:设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则
①两直线,所成的角为(),;
②直线与平面所成的角为(),;
③二面角─l ─的大小为(),
(2)空间距离
点、直线、,两异面直线间的距离是难,
点到平面的距离:(定理)如图,设是是平面的法向量,AP是平面的一条斜线,其中则点P到平面的距离
(实质是在法向量方向上的投影的绝对值)
异面直线间的距离:
(的公垂向量为,分别是上任一点).
题型一:非正交基底下的夹角、距离、长度的计算
A
B
C
D
a
b
l
,已知二面角a-l -b的大小为1200,点AÎa,BÎb,AC^l 于点C,BD^l 于点D,且AC=CD=DB=1.
求:(1)A、B两点间的距离;
(2)求异面直线AB和CD的所成的角
(3)AB与CD的距离.
解:设则
(1),
\ A、B两点间的距离为2.
(2)异面直线AB和CD的所成的角为600
(3)设与AB、CD都垂直的非零向量为,
由得①;
由得②,
令x=1,则由①、②可得z=-1,\,由法则四可知,AB与CD的距离为
.
小结:任何非正交基底下的证明、计算都先设基底,并将条件也用基底表示,特别证明线面平行时,如AB//平面PEF 可以将有基底表示,, 也用基底表示,最后用待定系数法,将λ和μ求出。
例2。如图,在三棱锥A—BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1。另一个侧面ABC是正三角形.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求二面角B—AC—D的大小;
(3)在段线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD
成30°角?若存在,确定点E的位置;若不存
在,说明理由.
:
(1)方法一:作AH⊥面BCD于H连DH.
AB⊥BDHB⊥BD,∵AD=,BD=1
∴AB==BC=AC ∴BD⊥DC
又BD=CD,则BHCD是正方形,
则DH⊥BC. ∴AD⊥BC,
方法二:取BC的中点O,连AO、DO,
则有AO⊥BC,DO⊥BC.
∴BC⊥面AOD,∴BC⊥AD
(2)作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,
则∠BMN就是二面角B—AC—D的平面角.
∵AB=AC=BC=,∴M是AC的中点,且MN//CD.
则BM=
由余弦定理得.
(3)设E为所求的点,作EF⊥CH于F,连FD,则EF//AH,
∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED与面BCD所成的角,则∠EDF=30°,
设EF=x,易得AH=HC=1,则CF=x,FD=.
故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30°角.
解法二:
(1)作AH⊥面BCD于H,连BH、CH、DH,则四边形BHCD是正方形,且AH=1,
以D为原点,以DB为x轴,DC为y轴建立空间直角坐标系如图,
则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).
(2)设平面ABC的法向量为=,
同理,可求得平面ACD的一个法向量为.
由图可以看出,二面角B—AC—D的大小应等于
=,即所求二面角的大小是
(3)设E(x,y,z)是线段AC上一点,则
平面BCD的一个法向量为
要使ED与面BCD成30°角,由图可知的夹角为60°,
题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题
例3、如题(18)图,在五面体中,∥,,,四边形为平行四边形,平面,.求:
(Ⅰ)直线到平面的距离;
(Ⅱ)二面角的平面角的正切值.
解法一:
(Ⅰ)平面, AB到面的距离等于点A到面的距离,过点A作于G,因∥,故;又平面,由三垂线定理可知,,故,知,所以AG为所求直线AB到面的距离
在中,
由平面,得AD,从而在中,
。即直线到平面的距离为。
(Ⅱ)由己知,平面,得AD,又由,知,故平面ABFE
,所以,为二面角的平面角,记为.
在中, ,由得,,从而
在中, ,故
所以二面角的平面角的正切值为.
解法二:
(Ⅰ)如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则
A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,,解得∥,
面,所以直线AB到面的距离等于点A到