文档介绍：【本讲教育信息】
一. 教学内容:
1. 掌握勾股定理的逆定理,能够应用此定理判断三角形的形状.
2. 能够应用勾股定理的逆定理,进行有关的计算或推理.
3. 了解命题的组成,能写出它的逆命题,并能判断逆命题是否正确.
4. 了解互逆定理,并能判断一个定理是否一定有逆定理.
二. 知识要点:
1. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,该定理将数转化为形,能通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.
2. 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一,利用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:
(1)确定最大边(不妨设为c);
(2)计算c2与a2+b2的值,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的三角形;若a2+b2<c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边);若a2+b2>c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边).
3. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,:①3、4、5;②6、8、10;③5、12、13;④8、15、17等都是勾股数.
4. 如果两个命题的题设和结论正好相反,那么这两个命题叫做__________,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的__________.
5. 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理,称这两个定理互为__________.
三. 重点难点:
重点是掌握勾股定理逆定理的内容,难点是利用勾股定理逆定理解题.
【典型例题】
例1. 如图所示,若在△ABC中,AB=5cm,BC=6cm,BC边上的中线AD=4cm,则∠ADC的度数是多少?
分析:根据AD是BC边上的中线,可得BD=3cm,又因为AB=5cm,AD=4cm,所以有BD2+AD2=AB2,因此△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,根据∠ADB与∠ADC是邻补角可得∠ADC=90°.
解:因为AD为BC边上的中线,
在△ABD中,
因为AB=5cm,BD=3cm,AD=4cm,
所以BD2+AD2=32+42=52=AB2.
所以△ABD为直角三角形,且∠ADB=90°.
所以∠ADC=90°.
评析:通过三边的长度关系得到△ABD是直角三角形后,再去探求角的度数.
例2. 写出下列命题的逆命题,并判断逆命题是否成立.
(1)对顶角相等;
(2)等腰三角形两腰上的高相等.
分析:交换所给命题的题设和结论,写出逆命题,再加以判断.
解:(1).
(2).
评析:(2)中的逆命题不能写成“两腰上的高相等的三角形是等腰三角形”,因为“等腰三角形”是结论,所以题设中不能出现“腰”.
分析:在Rt△CDB中,,△CDA中,已知AD和CD,可求得AC的长,再判断△ABC是否为直角三角形.
例5. 如图所示,某工厂A前面有一条笔直的公路,原先有两条路AB、AC可以从工厂A到达公路,经测量AB=6千米,AC=8千米,BC=10千米,现需要修建一条公路,使工厂A到公路的距离最短,请你帮工厂A设计一种方案,并求出公路的长.
分析:点A到直线的距离最短的是:过点A作直线的垂线段.