历届全国中学生数学竞赛试题.docx

文档介绍：中国数学奥林匹克(CMO)
历届试题及解答
1986-2005
第一届中国数学奥林匹克(1986年)
天津南开大学
a1, a2, . . . , an为实数, 如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足
x1 + x2 + · · · + xn = 1
的任意非负实数 x1, x2, . . . , xn, 有不等式
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn
.
a1x21 + a2x22 + · · · + anx2n
证明:原命题的证明:由0
xi
1, xi − x2i
0, xi
x2i (i = 1, 2, . . . , n).
(1)若ai
0(i = 1, 2, . . . , n),则显然有a1x1 + a2x2 + · · · + anxn
a1x21 + a2x22 + · · · + anx2n;
(2)否则至少存在一个ai < 0,由对称性不妨设a1 < 0. 又因为a1, a2, . . . , an中任两数之和非负,所
以ai + a1
0, ai
−a1 > 0(i = 2, 3, . . . , n).
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn − a1x21 − a2x22 −· · · − anx2n
-37∴
= a1(x1 − x21) + a2(x2 − x22) + · · · + an(xn − x2n)
a1(x1 − x21) + (−a1)(x2 − x22) + · · · + (−a1)(xn − x2n)
= (−a1)(x21 − x22 −· · · − x2n − x1 + x2 + · · · + xn)
= (−a1)(x21 − x1 + (1 − x1) − x22 −· · · − x2n)
= (−a1)((1 − x1)2 − x22 −· · · − x2n)
= (−a1)((x2 + · · · + xn)2 − x22 −· · · − x2n)
-370
最后一步是由于x2, x3, . . . , xn > 0, (x2 + · · · + xn)2 = x22 + · · · + x2n +

2 i<j n

xixj
x22 + · · · + x2n.
逆命题的证明:对于任意的1
i<j
n,令xi = xj =
1 1
1
+ aj).
∴ ai + aj
0,.
,BC边上的高AD = 12,∠A的平分线AE = 13,设BC边上的中线AF = m,问m在什
么范围内取值时,∠A分别为锐角,直角,钝角?
解:设O为 ABC的外心,不妨设AB > AC,∠B为锐角.
则OF 垂直平分线段BC,由外心的性质,∠C为锐角时,∠OAB = ∠OBA =
1 ◦
− 2∠C) = 90◦−∠C.
又因为AD ⊥ BC,∴∠CAD = 90◦−∠C,∴∠OAB = ∠DAC.
类似地,当∠C为直角或钝角时也有∠OAB = ∠DAC.
由AE平分∠BAC,∠BAE = ∠CAE.∴∠OAE = ∠DAE.(由于F, D在E两侧).
∠A为锐角时,O, A在BC同侧,∠F AE < ∠OAE = ∠DAE;
∠A为直角时,O, F 重合,∠F AE = ∠OAE = ∠DAE;
∠A为钝角时,O, A在BC异侧,∠F AE > ∠OAE = ∠DAE.
1
1 ◦
−∠AOB) =2, 2(ai + aj)
4(ai
2(180
2(180
√
sin F AE FE
AF
F E = F D − DE = AF 2 − AD2 − DE = m2 − 122 − 5 > 0. ∴ m > 13,
√
√
√
m2−122−5
5
m2−122−5
5
m2−122−5
5
×
12
m
12
m
12
m
= 1;
> 1.
解得当13 < m <
2028
当m =
当m >
2028
2028
, z2, . . . , zn为复数,满足
|z1| + |z2| + · · · + |zn| = 1.
求证:上述n个复数中,必存在若干个复数,它们的和的模不小于 16.
证明:设zk = xk + yki(xk, yk ∈ R, k = 1, 2 . . . , n)
将所有的zk分为两组X,|xk|
|yk|,则将zk放入X中;若|yk|
|xk|,