文档介绍：线性方程组
解题方法技巧与题型归纳
题型一线性方程组解的基本概念
、α2是下面方程组的两个不同的解向量,则a的取值如何?
解: 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量,故方程组有无穷多解,r (A)= r(Ab)<3,对增广矩阵进行初等行变换
易见仅当a=-2时,r(A)= r(Ab)=2<3,
故知a=-2。
×4矩阵, α1、α2、α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,若α1+α2+2α3=(2,0,0,0)T, 3α1+α2= (2,4,6,8)T,求方程组Ax=b的通解。
解:因为r(A)= 3,所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成,
又因为(α1+α2+2α3)-(3α1+α2) =2(α3-α1)=(0,-4,-6,-8)T, 是Ax=0的解,即其基础解系可以是(0,2,3,4)T,
由A (α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4 (α1+α2+2α3)是Ax=b的一个解,故Ax=b的通解是
=(-9,1,2,11)T,ξ2=(1,- 5,13,0)T,ξ3=(-7,-9,24,11)T是方程组的三个解,求此方程组的通解。
分析:求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系,判断r(A)的秩。
解:A是3×4矩阵, r(A)≤3,由于A中第2,3两行不成比例,故r(A)≥2,又因为
η1=ξ1-ξ2=(-10,6,-11,11)T,
η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T是Ax=0的两个线性无关的解向量,于是4- r(A)≥2,因此r(A)=2,所以ξ1+k1η1+k2η2是通解。
总结:
不要花时间去求方程组,太繁琐,由于ξ1-ξ2,ξ1-ξ3或ξ3-ξ1,ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系,ξ1,ξ2,ξ3都是特解,此类题答案不唯一。
题型2 线性方程组求解
的各行向量都是
方程组
的解向量,问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系?若不能,这4个行向量是多了还是少了?若多了如何去掉,少了如何补充?
解:将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵
r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量α1=(1,-2,1,0,0)T,
α2=(1,-2,0,1,0)T, B
α3=(5,-6,0,0,1)T,
B矩阵的r3=r1-r2,r4=3r1-2r2, B中线性无关的行向量只有1,2行,故B中4个行向量不能构成基础解系,需增补α3。