文档介绍：判别平行四边形的基本方法
如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.
一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别
A C
图2
B C
图2
C C
图2
D C
图2
O C
图2
E C
图2
F C
图2
图1
例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.
分析:由于已知条件与对角线有关,故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”,需连接BD.
解:连接BD交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,
所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.
所以四边形DEBF是平行四边形.
二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别
图2
A
B
C
D
E
F
例2 如图2,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形,请你指出图中所有的平行四边形,并说明理由.
分析:设每根木棒的长为1个单位长度,则图中各四边形的边长便可求得,故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.
解:设每根木棒的长为1个单位长度,则
AF=BC=1,AB=FC=1,
所以四边形ABCF是平行四边形.
同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.
A
图3
C
D
E
F
B
因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.
三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别
例3 如图3,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE,DF∥BE,试说明四边形ABCD是平行四边形.
分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形,但仔细观察可知,由已知条件可得△ADF≌△CBE,由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.
解:因为DF∥BE,所以∠AFD=∠CEB.
因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF,即AF==BE,
所以△ADF≌△CBE,所以AD=BC,∠DAF=∠BCE,
所以AD∥.
四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别
A
B
C
D
E
F
图4
1
3
2
例4 如图4,在平行四边形ABCD中,∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F,则四边形AECF是平行四边形吗?为什么?
分析:由平行四边形的性质易得AF∥EC,又题目中给出的是有关角的条件,借助角的条件可得到平行线,故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.
解:四边形AECF是平行四边形.
理由:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,∠DAB=∠BCD,
所以AF∥∠1=∠DAB,∠2=∠BCD,
所以∠1=∠∥BC,所以∠2=∠3,
所以∠1=∠3,所以AE∥CF.
所以四边形AECF是平行四边形.
判定平行四边形的五种方法
平行四边形的判定方法有:(1)证两组对边分别平行;(2)证两组对边分别相等;(3)证一组对边平行且相等;(4)证对角线互相平分;(5)证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
A
F
B
D
C
E
图1
两组对边分别平行
如图1,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连结DE并延长至点F,使EF=AE,连结AF、BE和CF
(1)请在图中找出一对全等三角形,并加以证明;
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由。
解:(1)选证△BDE≌△FEC
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,∠ACD=60°
∵CD=CE,∴BD=AE,△EDC是等边三角形
∴DE=EC,∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE,∴BD=FE,∴△BDE≌△FEC
(2)四边形ABDF是平行四边形
理由:由(1)知,△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形
∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°
∴AB∥DF,BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
点评:当四边形两组对边分别被第三边所截,易证截得的同位角相等,内错角相等或同旁内角相等时,可证四边形的两组对边分别平行,从而四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等
已知:如图2,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连结BG并延长交DE于F
(1)求证:△BC