文档介绍：第 1 章极限与连续
在自然界中,存在着各种各样变化着的量,这些量之间往往不是孤立地存在着,一些变
量之间相互联系、相互制约. 函数是变量的变化关系最基本的数学描述,它是高等数学研究
的主要对象,而极限揭示了变量在一定的变化过程中的终极状态,极限的思想和方法不仅是
高等数学的基础,而且在其它学科中也有着广泛的应用. 本章将在复****和加深有关函数知识
的基础上,讨论函数极限与函数连续性等问题.
函数
函数的概念
引例 1【汽车租赁】一汽车租赁公司出租某种汽车的收费标准为每天的基本租金 200
元加每公里收费 15 ,行车 x 公里时的租车费
y =(200 + 15 x)元()
在()式中,x 的取值范围是数集 D = {x∣x≥0},对每一个 x ∈ D ,按()式所
示规则,都有唯一确定的 y 与之对应.
引例 2【电压波】考察脉冲发生器所产生的一个单三角脉冲
电压波(图 1-1),其电压 U(伏)与时间 t(微秒)之间的关系
τ 2E τ 2E
为: 0,≤≤tU = t ; <≤tUτ,(); =− t −τ
2 τ 2 τ
当 t ≥τ时,U = 0. 这一波形的数学表达式可统一写为图 1-1
⎧2E τ
t, 0 ≤ t ≤,
⎪τ 2
⎪
⎪ 2E τ
U = ⎨−(t −τ), < t ≤τ()
⎪τ 2
⎪0, t ≥τ
⎪
⎩
在()式中,t 的取值范围是数集 D ={t 0 ≤ t < +∞} ,
对于每一个 t ∈ D ,按()所示规则,都有唯一确定的 U
与之对应.
引例 3【气温与时间】(1)某气象站用自动
图 1-2
温度记录仪记下一昼夜气温变化(图 1-2),由图可知,对于一昼夜内每一时刻 t,都有唯一
确定的温度 T 与之对应.
(2)为了方便游客在五一长假去北京旅游,下表给出了 2004 年 5 月 1 日至 5 月 7 日北京
每天的最高气温.
日期 t(日) 1 2 3 4 5 6 7
0
气温 T( C) 21 19 23 21 25 27 27
由上表可知,对每一个 t∈D = {1,2,3,4,5,6,7 },都有唯一确定的 T 与之对应.
以上各引例,都是一个变量在一个非空集合内每取一个值,按一定的规则,另一变量都
,在数学上就是函数关系.
定义 1 设 D 是一个数集,如果对于 D 中的每一个数 x,按照某种对应规则 f,都有唯
一确定的数值 y 与之对应,那么 y 就称为定义在数集 D 上的 x 的函数,x 称为自变量,记作
y = f (x),x∈D,数集 D 称为函数的定义域.
当 x 取定值 x0 时,与 x0 对应的 y 的数值称为函数在点 x0 处的函数值,记作 y 或
x=x0
f (x0) ,当 x 取遍 D 中的一切实数时,对应的函数值的集合称为函数的值域.
从函数的定义可知,
了对应法则和定义域,变量关系就确定了,至于变量用什么字母无关紧要.
函数常用解析法(如引例 1、引例 2)、图象法(如引例 3 中(1))、表格法(如引例 3
中(2))来表示.
注意:(1) 引例 2 是用解析法表示的一个函数,但在其定义域的不同区间内,对应 U 的
值是用不同的解析式来表示的,这种在其定义域的不同区间上用不同的解析式来表示的函数
,这是一类常见函数.
(2) 在函数的定义中,并没有要求自变量变化时,其函数值一定要变,因此 y = C (C 为
常数)也符合函数的定义,称 y = C (C 为常数)为常数函数.
x − 3
例1 求函数 y = arcsin + ln(x −1) 的定义域
2
x − 3
解要使函数 y = arcsin + ln(x −1) 有意义,必须
2
⎧ x − 3
⎪−1 ≤≤ 1
⎨ 2
⎩⎪x −1 > 0
解得 1 < x ≤ 5 ,于是定义域为(1,5].
引例 4【圆柱体积】圆柱体的体积 V 和它的底面半径 r 及高 h 之间的关系为
V=πr2 h ()
这里,V 是随着 r、h r、h 在一定范围内(r>0,h>0) 取定一对数值(r ,h)时,
按()所示规则,V 都有唯一确定的值与之对应