文档介绍：2005年江苏省数学冬令营测试题(二)
:R→R,且对于任意x,y∈R,有f(xf(y))=xyf(x+y).求出所有这样的f.
解:f(0)=0,f(f(y))=y·f(y+1),所以
f(f(xf(y)))=f(xyf(x+y))
xf(y)f(xf(y)+1)=xy(x+y)f(xy+x+y)
∴f(y)f(xf(y)+1)=y(x+y)f(xy+x+y) (任意x≠0)
令y=-1,则f(-1)f(xf(-1)+1)=(1-x)f(-1)
(1)若f(-1)=0,则令y=-1,得-xf(x-1)=0
于是f(x-1)=0,故f(x)=0
(2)若f(-1)≠0,则f(xf(-1)+1)=1-x (x≠0)
令 xf(-1)+1=t (t≠1)
则f(t)=-·t++1, (任意t≠1)
取t=0,则0=f(0)=+1,所以f(-1)=-1,
再代入得 f(t)=t,故xy=xy(x+y),故x+y=1,与x,y的任意性矛盾.
故f(-1)≠:f(x)=0.
,A2,…,An之间相互传球,由A1开始,(k>2),经过k次
犯规后,球仍回到A1手中,试求所有不同的传球方式的种数N.
解:考虑第k-2次传球:
(1)若到A1手上,则有ak-2,下一次传球有n-1种选择;
(2)若不传A1手上,则有ak-1,下一次传球有n-2种选择.
故ak=(n-2)ak-1+(n-1)ak-2,且a2=n-1,a3=(n-1)(n-2)
故x2-(n-2)x-(n-1)=0
故ak=[(n-1)k+(-1)k(n-1)].
另解:(冯惠愚老师解法)
解:设传球m次回到A1的手中的方法数为am,
若m=2,则第一次传球有n-1种方法,第二次只有一种方法,故a2=n-1.
对于第m次传球,第m-1次传球共有(n-1)m-1种方法,其中,在A1手中的方法数有am-1种,这些方都不能在第m次传给A1,其余都是可以传给A1的,故得
am=(n-1)m-1-am-1.
同除以(n-1)m: =- ·+.
记bm=,则得, bm=-bn-1+.
令bm+λ=-(bm-1+λ),即bm=-bm-1-λ-λ,得λ=-.
故bm-=-(bm-1-).b2-=-=.
于是bm-=(-)m-2=(-1)m·.
所以ak=(n-1)k-1[+(-1)k·]=[(n-1)k+(-1)k(n-1)].
即N=[(n-1)k+(-1)k(n-1)].
,b,数xi∈[a,b],i=1,2,…,=的最小值.
解:先证明不等式(1+b1x)(1+b2x)…(1+bn-1x)(1+bnx)≥
考察f(x)=lg(1+10x),由琴生不等式≥f
∴f(x)≤(+)n+1.
不等式的另一证法:
(1+b1)(1+b2)…(1+bn-1)(1+bn)≥
等