文档介绍：第 3 章二次函数
第 3 章二次函数
二次函数的图像与性质
二次函数的解析式
二次函数的图象与性质
一元二次不等式
解简单的一元二次不等式
含一个字母的不等式的解的讨论
二次函数的最值问题
无限制条件的最值
有限制条件的最值
函数的综合运用
一元二次方程根的分布
二次函数应用问题
函数是中学数学的重点内容,而二次函数则是最重要的函数之一,是高中阶
,我们来理解函数与方程、不等
式之间的关系,感受函数解析式与图形的对应关系,体会分类讨论的数学思想.
本章主要拓展深化以下几个方面的内容:
●二次函数的图像与性质.
●一元二次不等式的解法.
●关于一个字母的分类讨论.
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二次函数的图像与性质
●本单元研究二次函数的解析式,图像与性质.
二次函数的解析式
●比较下列同一个二次函数的解析式的三种形式:
y x2 43 x ;
yx( 2)2 1;
y( x 1)( x 3) .它们各侧重表现了函数的哪些性质?
二次函数的解析式常常表示成以下三种形式:
: y ax2 bx c( a 0) ;
: y a( x h )2 k ( a 0) ,其中顶点坐标是(h,k);
: y a( x x12 )( x x )( a 0) ,其中 xx12, 是二次函数图象与 x 轴的两个交点
的横坐标.
●在求二次函数的表达式时,我们分别在什么条件下选用一般式、顶点式、交点式?
例 1 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.
解:设该二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0).
由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得
22 a b c ,
8,c
8 4a 2 b c ,
解得 a=-2,b=12,c=-8.
所以,所求的二次函数为 y=-2x2+12x-8.
说明:本题运用了待定系数法.
例 2 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(2,
-1),求二次函数的解析式.
分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以
将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数 a.
解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,
∴顶点的纵坐标为 2.
又顶点在直线 y=x+1 上,
所以,2=x+1,∴x=1.
∴顶点坐标是(1,2).
设该二次函数的解析式为 y a( x 1)2 2( a 0) ,
∵二次函数的图像经过点(2,-1),
∴1 a (2 1)2 2,解得 a=-3.
∴二次函数的解析式为 yx3( 1)2 2 ,即 y=-3x2+6x-1.
说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然
后设出二次函数的顶点式,,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,
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并巧妙地利用条件简捷地解决问题.
例 3 已知二次函数 y ax2 bx c( a 0, b 0) 的图像与 x 轴, y 轴都只有一个公共
点,分别为点 AB, 且 AB 2 ,b20 ac .
(1)求二次函数的解析式;
(2)若一次函数 y x k 的图像过点 A ,并和二次函数的
图像相交于另一点C ,求ABC 的面积.
解:因为二次函数的图像与 x 轴只有一个公共点,所以
b2 40 ac ,而b20 ac ,所以bb2 20,因为 b 0 ,
所以b 2 .
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又 ac 1,且 A ( ,0) ,Cc(0, ) ,所以 AB2( ) 2 c 2 4 ,
a a 图 -1
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( a 0 ), 解得 ac,2. 所以,二次函数的解析式为
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