文档介绍：1995年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题
=355,b=444,c=533,则有[ ]
<b<c <b<a <a<b <c<b
(x-1)(x2-2x-m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m的取值范围是
、39、52与60的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为 [ ]
⊙O的一条弦,CD是⊙O的直径,且与弦AB相交,记M=|S△CAB-S△DAB|,N=2S△OAB,则 [ ]
>N =N <N 、N的大小关系不确定
、b满足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,则[ ]
>0且b>0 <0且b>0
>0且b<0 <0且b<0
二、填空题
,22,32…,952这95个数中,十位数字为奇数的数共有____个。
,圆心为O,C是半圆周上的点,且OC2=AC·BC,则∠CAB=______.
第二试
已知∠ACE=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,经A、C、D三点的圆交AB于F(如图)求证F为△CDE的内心。
二、在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数
理由。
三、试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。
1995年全国初中数学联赛参考答案
第一试
一、选择题
:这类指数幂的比较大小问题,通常是化为同底然后比较指数,或化为同指数然后比较底数,本题是化为同指数,有
c=(53)11=12511
<24311=(35)11=a
<25611=(44)11=b。选C。
利用lg2=,lg3=、lgb、lgc也可以,但没有优越性。
:这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z=1,进而可求出两个解:(2,21,1)、(20,3,1).也可以不解方程组
直接判断:因为x≠y(否则不是正整数),故方程组①或无解或有两个解,对照选择支,选B。
:显然,方程的一个根为1,另两根之和为x1+x2=2>1。三根能作为一个三角形的三边,须且只须|x1-x2|<1又
有0≤4-4m<1.
:四个选择支表明,圆的周长存在且唯一,
AB2+AD2
=252+602
=52×(52+122)
=52×132
=(32+42)×132
=392+522
=BC2+CD2
故可取BD=65为直径,得周长为65π,选D.
:此题的得分率最高,但并不表明此题最容易,,则M=N=0,,这只能排除A、C,不能排除D.
不失一般性,设CE≥ED,在CE上取CF=ED,则有OF=OE,且S△ACE-S△ADE=S△AEF=2S△,S△BCE-S△BDE=2S△,得S△ABC-S△DAB=2S△OAB,即M=.
若过C、D、O分别作AB的垂线(图3),CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB,垂足分别为E、F、、DE,,:梯形对角线中点的连线平行底边,并且等于两底差的一半,有
|CE-DF|=2OL.
即M=.
:取a=-1、b=2可否定A、C、D,,对已知不等式平方,有
|a|(a+b)>a|a+b|.
显然|a||(a+b)|>0(若等于0,则与上式矛盾),有
两边都只能取1或-1,故只有1>-1,即
有a<0且a+b>0,从而b>-a>.
二、填空题
:本题虽然以计算为载体,,22,…,102,知十位数字为奇数的只有42=16,62=,对两位数10a+b,有
(10a+b)2=20a(5a+b)+b2.
其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数,故两位数的平方中,也中有b=4或6时,其十位数字才会为奇数,问题转化为,在1,2,…,95中个位数出现了几次4或6,有2×9+1=19.
:这类问题一般都先化简后代值,直接把a
学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确,最后又不会将a2+,抓住这一点,,由①有
由②-①,得
由③-②并将④代入,得
还可由①得
⑥÷⑤即得所求.
:这个题目是将二次