文档介绍：Newton插值多项式
利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式,拉格朗日插值公式结构紧凑,在理论分析中甚为方便,但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化,不得不重新计算所有插值基函数,这在实际计算中是很不方便的,为了克服这一缺点,引入了出具有承袭性质的牛顿插值多项式,首先介绍在牛顿插值中需要用到的差商计算。
◆差商
设有函数为一系列互不相等的点,称为关于点的一阶差商,记为,即
1-14)
类似于高阶导数的定义,称一阶差商的差商
为关于的二阶差商,,称
为关于的阶差商,记为
函数关于的零阶差商即为函数在的函数值,。
容易证明,差商具有下述性质:
(1)各阶差商均具有线性性,即若,则对任意正整数,都有
(2)阶差商可表示成的线性组合。
其中。
用归纳法可以证明这一性质。
是显然的。时
(1-16)
(3)各阶差商均具有对称性,即改变节点的位置,差商值不变。如
(4)若是次多项式,则一阶差商是次多项式。
事实上,如果是次多项式,则也是次多项式,且。于是可分解为
其中为次多项式。所以
为次多项式。
◆计算差商
按照差商定义,用两个k-1阶差商的值计算k阶差商,通常用差商表的形式计算和存放(见表1)。
由于差商对节点具有对称性,可以任意选择两个k-1差商的值计算k阶差商。
(1-18)
表1 差商表
xk
f(xk)
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
…
x0
x1
x2
x3
x4
x5
f(x0)
f(x1)
f(x2)
f(x3)
f(x4)
f(x5)
f[x0,x1]
f[x1,x2]
f[x2,x3]
f[x3,x4]
f[x4,x5]
f[x0,x1,x2]
f[x1,x2,x3]
f[x2,x3,x4]
f[x3,x4,x5]
f[x0,x1,x2,x3]
f[x1,x2,x3,x4]
f[x2,x3,x4,x5]
f[x0,x1,x2,x3,x4]
f[x1,x2,x3,x4,x5]
【例1】给定函数的函数表
-2
0
1
2
17
1
2
17
写出函数的差商表。
解差商表如下:(写牛顿插值多项式)
1阶差商
2阶差商
3阶差商
-2
0
1
2
17
1
2
17
-8
1
15
3
7
1
◆牛顿插值(根据差商定义推导牛顿插值多项式)
根据差商定义,把看成[a,b]上一点,可得
左右两端乘()移项得
,
二阶差商:
,整理得:
,
……
同理:
.
只要把后一式代入前一式,就得到
其中
(1-19)
, (1-20)
=
则
显然, 是至多次的多项式。而由

即得。这表明满足插值条件,因而它是的次插值多项式。这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。
Newton插值优点:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即
因此便于递推运算。而且Newton插值的计算量小于Lagrange插值。
由插值多项式的唯一性可知,次Newton插值多项式与次Lagrange插值多项式是相等的,即,它们只是表示形式不同。因此Newton余项与Lagrange余项也是相等的,即
由此可得差商与导数的关系