文档介绍：2008 年 7 月, 来自世界各地的很多优秀的魔方玩家聚集在捷克共和国(Czech Republic) 中部城市帕尔杜比采(Pardubice), 参加魔方界的重要赛事: 捷克公开赛。在这次比赛上, 荷兰玩家阿克斯迪杰克(Erik Akkersdijk) 创下了一个惊人的纪录: 只用秒就复原了一个颜色被打乱的魔方。无独有偶, 在这一年的 8 月, 人们在研究魔方背后的数学问题上也取得了重要进展。在本文中, 我们就来介绍一下魔方以及它背后的数学问题。
一. 风靡世界的玩具
1974 年春天, 匈牙利布达佩斯应用艺术学院(Budapest College of Applied Arts) 的建筑学教授鲁比克(Ernő Rubik) 萌生了一个有趣的念头, 那就是设计一个教学工具来帮助学生直观地理解空间几何中的各种转动。经过思考, 他决定制作一个由一些小方块组成的, 各个面能随意转动的 3×3×3 的立方体。这样的立方体可以很方便地演示各种空间转动。
这个想法虽好, 实践起来却面临一个棘手的问题, 即如何才能让这样一个立方体的各个面能随意转动? 鲁比克想了很多点子, 比如用磁铁或橡皮筋连接各个小方块, 但都不成功。那年夏天的一个午后, 他在多瑙河畔乘凉, 眼光不经意地落在了河畔的鹅卵石上。忽然, 他心中闪过一个新的设想: 用类似于鹅卵石表面那样的圆形表面来处理立方体的内部结构。这一新设想成功了, 鲁比克很快完成了自己的设计, 并向匈牙利专利局申请了专利。这一设计就是我们都很熟悉的魔方(magic cube), 也叫鲁比克方块(Rubik's cube)[注一]。
6 年后, 鲁比克的魔方经过一位匈牙利商人兼业余数学家的牵头, 打进了西欧及美国市场, 并以惊人的速度成为了风靡全球的新潮玩具。在此后的 25 年间, 魔方的销量超过了 3 亿个。在魔方的玩家中, 既有牙牙学语的孩子, 也有跨国公司的老总。魔方虽未如鲁比克设想的那样成为一种空间几何的教学工具, 却变成了有史以来最畅销的玩具。
魔方之畅销, 最大的魔力就在于其数目惊人的颜色组合。一个魔方出厂时每个面各有一种颜色, 总共有 6 种颜色, 但这些颜色被打乱后, 所能形成的组合数却多达 4,325 亿亿[注二]。如果我们将这些组合中的每一种都做成一个魔方, 这些魔方排在一起, 可以从地球一直排到 250 光年外的遥远星空——也就是说, 如果我们在这样一排魔方的一端点上一盏灯, 那灯光要在 250 年后才能照到另一端! 如果哪位勤勉的玩家想要尝试所有的组合, 哪怕他不吃、不喝、不睡, 每秒钟转出 10 种不同的组合, 也要花 1,500 亿年的时间才能如愿(作为比较, 我们的宇宙目前还不到 140 亿岁)。与这样的组合数相比, 广告商们常用的“成千上万”、“数以亿计”、“数以十亿计”等平日里虚张声势、忽悠顾客的形容词反倒变成了难得的谦虚。我们可以很有把握地说, 假如不掌握诀窍地随意乱转, 一个人哪怕从宇宙大爆炸之初就开始玩魔方, 也几乎没有任何希望将一个色彩被打乱的魔方复原。
二. 魔方与“上帝之数”
魔方的玩家多了, 相互间的比赛自然是少不了的。自 1981 年起, 魔方爱好者们开始举办世界性的魔方大赛, 从而开始缔造自己的世界纪录。这一纪录被不断地刷新着, 截至 2013 年