文档介绍：目 录
第一章
行列式""""""""""""""""""""""""
3
第二章
矩 阵""""""""""""""""""""""""
24
第三章
n 维向量和线性方程组"""""""""""""""""
41
第四章
向量空间"""""""""""""""""""""""
73
第五章
特征值、特征向量,实对称阵的对角化""""""""""
82
第六章
二次型""""""""""""""""""""""""
93
第一章 行列式
一、基本要求:
n 阶行列式的概念
,会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理熟练计算 3、4 阶行列式,会计算较简单的 n 阶行列式。
二、基本概念与要点揭示
1、行列式概念(i) n 阶行列式
a11
D = a21
a12
a22
" a1n
" a2 n
" " " "
an1
an 2
" ann
等于 n!项的代数和,每项都是取自不同行不同列的 n 个元素的乘积; a1 p , a2 p
1 2
,", an p ,这
n
里 p1 , p2 ,", pn 是 1,2,⋯,n 的一个 n 元排列,当 p1 p2 " pn 为偶排列时,该项带正号;当
p1 p2 " pn 为奇排列时,该项带负号,记为
1 p1
D = ∑(−1)τ( p1 p2 " pn ) a
a2 p2
" anp n
p1 p2 " pn
其中∑表示对 1,2, ⋯,n 的 n!个全排列求和,上式右端称为 n 阶行列式的展开式。
p1 p2 " pn
(ii) 转置行列式:若记
a11
D = a21
a12
a22
" a1n
" a2 n
, D T
a11
= a12
a21
a22
" an1
" an 2
" " " "
" " " "
an1
an 2
" ann
a1n
a2 n
" ann
则称行列式 D T 为行列式 D 的转置行列式。
(iii) 代数余子式: 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下来
i + j
的 n-1 阶行列式称为元素 aij 的余子式,记作 M ij 。余子式 M ij 连同符号(−1)
i + j
的乘积
Aij
= (−1)
M ij
称为元素 aij 的代数余子式。元素 aij 的代数余子式 Aij 与 aij 的位置有关,而与 aij 本身数值无
关。
2. 行列式的性质
(i) 行列式与它的转置行列式相等。
(ii) 互换行列式的任意两行(列),行列式变号。
(iii)行列式中某一行(列)元素的公因子可以提到行列式外,或者说,用一个数乘行列式等于用该数乘行列式的某一行(列)。
(iV) 若行列式中的某两行(列)对应元素成比例,或有一行(列)元素全为零,行列式的值为零。
(V) 若行列式的某一行(列)元素都是两个数之和,则此行列式等于两个行列式之和,即
a11
a12
" a1n
a11
a12
" a1n
a11
a12
" a1n
" " " "
" " " "
" " " "
ai1 + bi1
ai 2 + bi 2
" ain + bin
= ai1
ai 2
" ain
+ bi1
bi 2
" bin
" " " "
" " " "
" " " "
an1
an 2
" ann
an1
an 2
" ann
an1
an 2
" ann
(vi) 将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。
3. 行列式按行(列