文档介绍：第二章角平分线模型的构造
技巧提炼:
与角平分线有关的常用辅助线作业,即角平分线的四大基本模型。
已知P是∠MON平分线上一点,
若PA⊥OM于点A,如图a,可以过P点作PB⊥ON于点B,则PB=PA。可记为“图中有角平分线,可向两边作垂线”。
若点A是射线OM上任意一点,如图b,可以在ON上截取OB=OA,连接PB,构造△OPB≌△OPA。可记为“图中有角平分线,可以将图形对折看,对称以后关系现”。
若AP⊥OP于点P,如图c,可延长AP交ON于点B,构造△AOB是等腰三角形,P是底边AB的中点,可记为“角平分线加垂线,三线合一试试看”。
若过P点作PQ∥ON交OM于点Q,如图d,可以构造△POQ是等腰三角形,可记为“角平分线+平行线,等腰三角形必呈现”。
例题精讲
例1 (1)如图a,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D到直线AB的距离是 cm。
(2)如图b,已知:∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AP平分∠BAC。
例2 如图a在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F,
(1)求证:CE=CF。
(2)将图a中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置,使点E’落在BC边上,其他条件不变,如图b,试猜想:BE’与CF有怎样的数量有关系?请证明你的结论。
例3 阅读下列学****材料:
如图a,OP平分∠MON,A为OM上一点,C为OP上一点,连接AC,在射线ON上截取OB=OA,连接BC,易证△AOC≌△OBC。
请根据上面的学****材料,解答下列各题:
如图c,在△ABC中,AD中△BAC的外角平分线,P是AD上异于A点的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由。
如图d,AD中△BAC的内角平分线,其他条件不变,试比较PC-PB与AC-AB的大小,并说明理由。
例4 如图,已知等腰直角△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,垂足为点E,求证:BD=2CE。
例5 (1)如图a,BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AD⊥BD、AE⊥CE,垂足分别为D、E,连接DE,求证DE∥BC,DE=;
如图b,BD、CE分别是△ABC的内角平分线,其他条件不变;
如图c,BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,其他条件不变,
则在图b,图c两种情况下,DE与BC还平行吗?它与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜测,并对其中的一种情况进行证明。
变式练****br/>如图,在△ABC中,AB=3AC,∠BAC的平分线交BC于点D,过点B作BE⊥AD,垂足为E,求证:AD=DE。
例6 如图a,AB=AC,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,问:
图a中有几个等腰三角形?
过点D点作EF∥BC,如图b,交AB于点E,交AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形?
如图c,若将题中的△ABC改为不等边三角形,其他条件不变,图中有几个等腰三角形?直接写出线段EF与BE、CF有什么关系?
如图d,BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG,DE∥BC交AB于点E,交AC于点F,线段EF与BE、CF有什么关系?并说明理由。
如图e,BD、C