文档介绍：班级名称: 应用数学2班学号: 200940510212 姓名:怀听听
探讨求极限的若干方法
引言:极限是数学中一项常用的“工具”,是学****数学必要掌握的方法之一,下面我们就来探讨一下求极限的几种方法:夹逼原理、常用极限法、等价无穷小量与无穷大量法则、洛比达法则、泰勒公式替代法、定积分法、连续性法。求极限有很多方法,还有有关级数方面的求法等,在此不作讨论。
1、夹逼原理求极限
夹逼原理:设数列,,满足,且,则
例题:求(1);
(2)
(3)
解:(1)因为,
即;而;所以由夹逼原理得:
(2)因为,
而,所以
(3)设,
则有,
将不等式同乘以得;即有
而
因此
2、常用极限法
常用极限:(1);(2)
例题:求(1);(2)
解:(1)
(2)
又因为
;
所以
3、等价无穷法求极限
等价无穷小量:若,则称与是当时的等价无穷小量。记作
当时,常用等价无穷小:(ⅰ);(ⅱ);
(ⅲ);(ⅳ);(ⅴ)
例题:求(1);(2)
解:(1)
(2)
4、洛比达法则求极限
洛比达法则:设:(1)当时,函数及都趋于零;
(2)在点的去心邻域内,及都存在且;
(3)当时存在(或为无穷大),那么时。
再设:(1)当时,函数及都趋于零;
(2)当时及都存在,且;
(3)当时存在(或为无穷大),那么时。
例题:
求(1);(2)
解:(1)
所以原式
(2):故原式
★注:(1)每次在使用Hospital法则之前,务必考查它是否属于七种不定型,否则不能用。
(2)一旦用Hospitol法则算不出结果,不等于极限不存在。例如:
就是如此。这是因为Hospital法则只是充分条件,不是必要条件。
(3)用Hospital法则求极限时,经常与等价无穷法联用。
(4)型的Hospital法则使用时,只需检验分母趋向于无穷大即可,分子不趋向没有关系。
5、泰勒公式求极限
泰勒公式:若函数在点存在直至阶导数