文档介绍：一个博弈论经典案例
有5个海盗,即将被处死刑。法官愿意给他们一个机会。从100个黄豆中随意抓取,最多可以全抓,最少可以不抓,可以抓同样多的豆子。最终,抓的最多的和最少的要被处死。如果你第一个抓,你抓几个?
条件:
1,他们都是非常聪明的人
2,他们的原则是先求保命,再去多杀人;不能保命的话,也要多杀人。
3,100颗不必都分完
4,若有重复的情况,则也算最大或最小,一并处死(中间数的重复不算)。
解析:
根据题意,2号是知道1号抓了几颗豆子的。那么,对于2号来说,只有2种选择:与1号一样多,或者不一样多。我们就从这里入手。
一、假如2号选择与1号的豆子数不一样多,也就是说2号选择比1号多或者比1号少。选择一样多的情况后面再讨论。
. 我们先要证明,如果2号选择比1号多或者比1号少,那么他一定会选择比1号只多1颗或者只少1颗。为什么2号不会选择多2颗或更多,也不会选择少2颗或更少呢?要证明这个并不算太难。因为每个囚犯的第一选择是先求保命,要保命就要尽量使自己的豆子数既不是最多也不是最少。当2号决定选择比1号多的时候,那么,他已经可以保证自己不是最少,为了尽量使自己不是最多,当然比1号多出来的数量越小越好,因为这个数量越大,那自己成为最多的可能性也就越大。反之,当2号决定选择比1号少的时候,也是同样的道理,他会选择只比1号少1颗。这个证明并不难,相信大家都能理解。这个证明也很重要,以后的许多推论,都是基于这个证明。
,那么1、2号的豆子数一定是2个连续的自然数,和一定是2n+1,其中1个人是n,另1人是n+1。轮到3号的时候,他可以从剩下的豆子数知道1、2号的数量和,也就不难计算出n的值。而3号也只有2个选择:n颗或者n+1颗。为什么3号不会选择n-1或者n+2呢?,这里不再赘述。
不过,3号选择的时候会有一个特殊情况,在这一情况下,他一定会选择较小的n,而不是较大的n+1。这一特殊情况就是,当3号知道自己选择了n后(已保证自己不是最多),剩下的豆子数由于数量有限,4、5号中一定有人比n要少,这样自己一定可以活下来。不难算出,这个特殊情况的n=20或者n>20。也就是说,当1、2号选择了20和21颗的时候,3号只要选择20颗,就可以保证自己活下来,因为剩下的豆子只有39颗,4、5号至少有一人少于20颗(这个人当然是后选的5号),这样死的将是5号和1、2号中选21颗的那个人。
也由此我们可以看出,1号、2号都不会选择21这一“倒霉”的数字(因为他们都是聪明人),1号的选择肯定在20颗以下,而当1号选了20颗时,2号就不会再选择比1号多1颗,而只会选比1号少1颗的19。也就是说,