文档介绍：从总体抽取样本
怎样集中、提炼出有用的信息
统计推断的基础:
收集数据
“杂乱无章”的数据
包含了各种有用的“信息”
问
?
下面的量能较好地反映全班整体学****情况
某班级《高等数学》课程考试成绩单列出个学生成绩分别为如何评价全班整体学****情况?
例
分析
通过构造样本函数,加工提炼出有用信息
数据的加工整理:
统计量
设
为来自总体
的样本
为元函数,若
不含任何未知参数,则
称
为统计量.
“好”的统计量能够有效地提炼出数据中包含的有用信息
统计量的二重性
①
②
试验前是随机变量
试验后是具体的数值
例
设
为来自总体
的样本,其
中均未知,判断下列哪些是统计量:
问
为什么要求统计量不含任何未知参数
?
样本均值
样本方差
样本标准差
样本k阶矩
样本k阶中心矩
极小值
极大值
常用的统计量
与均值和方差有什么不同?
为什么不是
(下章说明)
与第4章介绍的矩有什么不同?
独立,与总体同分布
独立,与同分布
由辛钦大数定律知
样本矩的特性
都存在
设
为来自总体
的样本,总体阶矩
其中为连续函数
①
②
③
设总体的均值和方差
样本均值与样本方差的数字特征
是来自总体的样本,则
都存在.
证
说明了什么?
样本均值与样本方差的实际意义
是全体实验数据
的平均值
是数据
的中心
反映了实验数据与数据中心的偏离程度,反映了全体实验数据的离散程度
思考
样本
统计量
抽样分布
包含了各种有用信息
集中、提炼数据中包含的有用信息
它们是随机变量,必须确定其分布,称为抽样分布
来自标准正态总体的抽样分布
主要讨论:
①
②
来自一般正态总体的抽样分布
分布分布分布
五个抽样分布定理
随着自由度的增加曲线重心向右下方移动
(一)
-分布
是来自总体
设
的样本,令
称服从自由度为的分布,记为
分布的密度函数及图形
伽马函数
分布的可加性
且相互独立, 则
设
推广:
且
设
相互独立,
则
,于是
则
设
证
取个独立同分布的
则与
同分布
分布的数学期望与方差
随着自由度的增加曲线越来越趋近
(二)
分布
且
设
相互独立,令
称服从自由度为的分布,记为
分布的密度函数及图形
易知:
?
?
利用伽马函数的斯特林公式
即
故当较大时,可认为
英国统计学家兼化学家戈塞特(Gosset W S 1876-1937 )于1908年用笔名Student 发表了关于 t 分布的论文,这是一篇在统计学发展史上划时代的文章,它创立了小样本代替大样本的方法,开创了现代统计学的新纪元.
Gosset, Student 的最后一个字母都是t ,故取名为“t 分布”,又称为“学生氏分布”.
-分布是怎样产生的
t
?
(三)
分布
且
设
相互独立,令
称服从自由度为的分布,记为
分布的密度函数及图形
分布的重要性质
若
则
分布是为了纪念著名统计学家
费歇耳( 1890-1962)而命名