文档介绍：§ 平面向量的数量积
基础知识自主学****br/>要点梳理
已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,则
数量叫做向量a和b的数量积
(或内积),记作.
规定:零向量与任一向量的数量积为.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是,
两个非零向量a与b平行的充要条件是
.
|a|·|b|cos θ
a·b=|a||b|·cos θ
0
a·b=0
a·b=±|a||b|
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投
影的乘积.
(1)e·a=a·e= ;
(2)非零向量a,b,a⊥b;
(3)当a与b同向时,a·b= ;
当a与b反向时,a·b= ,
a·a= ,|a|= ;
(4)cos θ= ;
(5)|a·b| |a||b|.
|b|cos θ
≤
a2
-|a||b|
|a|cos θ
a·b=0
|a||b|
(1)a·b= (交换律);
(2)(λa)·b= = (λ为实数);
(3)(a+b)·c= .
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a·b= ,由此得到
(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|= .
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点
间的距离|AB|=|AB|= .
(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b
.
b·a
λa·b
a·λb
a·c+b·c
x1x2+y1y2
x1x2+y1y2=0
基础自测
=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为
.
解析设a和b的夹角为θ,|a|cos θ
2.(2009·常州市武进区四校高三联考)已知向
量a=(2,1),b=(3,λ) (λ>0),若(2a-b)⊥b,则
λ= .
3
3.(2008·浙江理)已知a、b是平面内两个互相垂
直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)
=0,则|c|的最大值是.
解析由于(a-c)·(b-c)=0,并且a·b=0;
所以c·c=(a+b)·c
即|c|2=(a+b)·c=|c|·|a+b|·cos〈a+b,c〉,
即|c|= cos〈a+b,c〉,当cos〈a+b,c〉=1
时,|c|取得最大值为.
4.(2009·全国Ⅱ改编)已知向量a=(2,1), a·b
=10,|a+b|=5 ,则|b|= .
解析∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=5+20+b2=50,
∴b2=25,∴|b|=5.
5
典型例题深度剖析
【例1】(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,
AC=4,求AB·BC.
(2)若a=(3,-4),b=(2,1),试求(a-2b)·
(2a+3b).
向量的数量积有两种计算方法,一是依
据长度与夹角来计算,
体应用时可根据已知条件的特征来选择,本题
(1)中两向量AB、BC的长度及夹角容易求得,
故可用公式a·b=|a||b|cos (2)
中向量a、b的坐标已知,可求a2、b2、a·b,也
可求a-2b与2a+3b的坐标,进而用(x1,y1)·
(x2,y2)=x1x2+y1y2来求解.
分析
(2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-
2cos x-1=2(cos x- )2- .
∵∴≤cos x≤1,
∴当cos x= 时,f(x)取得最小值为- ;
当cos x=1时,f(x)取得最大值为-1.
【例2】已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,
sin β)(0<α<β<π).
(1)求证:a+b与a-b互相垂直;
(2)若ka+b与a-kb的模相等,求β-α.(其中k
为非零实数)
(1)a+b,a-b可分别用坐标表示出来,要
证垂直,只需证(a+b)·(a-b)=0.
(2)由|ka+b|=|a-kb|得到cos(β-α)的值,再
由β-α的范围确定β-α的值.
(1)证明(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2
=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0,
∴a+b与a-b互相垂直.
分析