文档介绍：高中数学常用四种数学思想
一、数形结合思想方法
中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹数的知识,如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等;一类是关于数形结合的知识,主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合。如:锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的;任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
Ⅰ、再现性题组:
设命题甲:0<x<5;命题乙:|x-2|<3,那么甲是乙的_____。(90年全国文)

若log2<log2<0,则_____。(92年全国理)
A. 0<a<b<1 B. 0<b<a<1 C. a>b>1 D. b>a>1
如果|x|≤,那么函数f(x)=cosx+sinx的最小值是_____。(89年全国文)
A. B. - C. -1 D.
如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5,那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)
-5 -5
-5 -5
设全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M={(x,y)| =1},N={(x,y)|y≠x+1},那么等于_____。(90年全国)
A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y=x+1

如果θ是第二象限的角,且满足cos-sin=,那么是_____。
,也可能第三象限角
已知集合E={θ|cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ|tgθ<sinθ},那么E∩F的区间是_____。(93年全国文理)
A. (,π) B. (,) C. (π, ) D. (,)

若复数z的辐角为,实部为-2,则z=_____。
A. -2-2i B. -2+2i C. -2+2i D. -2-2i
如果实数x、y满足等式(x-2)+y=3,那么的最大值是_____。(90年全国理)
A. B. C. D.
满足方程|z+3-i|=的辐角主值最小的复数z是_____。
【注】以上各题是历年的高考客观题,都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题,即借助数轴(①题)、图像(②、③、④、⑤题)、单位圆(⑥、⑦题)、复平面(⑧、⑩题)、方程曲线(⑨题)。
y
4 y=1-m
1
O 2 3 x
Ⅱ、示范性题组:
例1. 若方程lg(-x+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值范围。
【分析】将对数方程进行等价变形,转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题,再利用二次函数的图像进行解决。
【注】一般地,方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时,可以借助于函数的图像直观解决,简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况,还可用分离参数法来求(也注意结合图像分析只一个x值)。
y A
D
O B x

C
例2. 设|z|=5,|z|=2, |z-|=,求的值。
【分析】利用复数模、四则运算的几何意义