文档介绍：高等数学(下)知识点
主要公式总结
第八章空间解析几何与向量代数
二次曲面
椭圆锥面:
椭球面: 旋转椭球面:
单叶双曲面: 双叶双曲面:
椭圆抛物面: 双曲抛物面(马鞍面):
椭圆柱面: 双曲柱面:
抛物柱面:
平面及其方程
点法式方程:
法向量:,过点
一般式方程:
截距式方程:
两平面的夹角:,,
;
点到平面的距离:
空间直线及其方程
一般式方程:
对称式(点向式)方程:
方向向量:,过点
两直线的夹角:,,
;
直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,
;
第九章多元函数微分法及其应用
连续:
偏导数:
;
方向导数:
其中为的方向角。
梯度:,则。
全微分:设,则
性质
函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
偏导数存在
函数可微
函数连续
偏导数连续
充分条件
必要条件
定义
1
2
2
3
4
微分法
复合函数求导:链式法则
若,则
,
应用
求函数的极值解方程组求出所有驻点,对于每一个驻点,令
,,,
若,,函数有极小值, 若,,函数有极大值;
若,函数没有极值;
若,不定。
几何应用
曲线的切线与法平面
曲线,则上一点(对应参数为)处的
切线方程为:
法平面方程为:
曲面的切平面与法线
曲面,则上一点处的切平面方程为:
法线方程为:
第十章重积分
二重积分:几何意义:曲顶柱体的体积
定义:
计算:
直角坐标
,
,
极坐标
,
三重积分
定义:
计算:
直角坐标
-------------“先一后二”
-------------“先二后一”
柱面坐标
,
球面坐标
应用
曲面的面积:
第十一章曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
定义:
计算:
设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数,且,则
对坐标的曲线积分
定义:设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数,在 L 上有界,定义,.
向量形式:
计算:
设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为
,其中在上具有一阶连续导数,且,则
两类曲线积分之间的关系:
设平面有向曲线弧为,上点处的切向量的方向角为:,
,,
则.
格林公式
格林公式:设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数在D 上具有连续一阶偏导数,
则有
2、为一个单连通区域,函数在上具有连续一阶偏导数,
则曲线积分在内与路径无关
对面积的曲面积分
定义:
设为光滑曲面,函数是定义在上的一个有界函数,
定义
计算:———“一单二投三代入”
,,则
对坐标的曲面积分
定义:
设为有向光滑曲面,函数是定义在上的有界函数,定义同理,
;
性质:
1),则
计算:——“一投二代三定号”
,,在上具有一阶连续偏导数,在上连续,则,为上侧取“+ ”, 为下侧取“- ”.
两类曲面积分之间的关系:
其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
高斯公式
高斯公式:设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有
或
通量与散度
通量:向量场通过曲面指定侧的通量为:
散度:
斯托克斯公式
斯托克斯公式:设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含å 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
环流量与旋度
环流量:向量场沿着有向闭曲线G的环流量为
旋度:
第十二章无穷级数
常数项级数
定义:
1)无穷级数:
部分和:,
正项级数:,
交错级数:,
2)级数收敛:若存在,则称级数收敛,否则称级数发散
3)条件收敛:收敛,而发散;
绝对收敛:收敛。
性质:
改变有限项不影响级数的收敛性;
级数,收敛,则收敛;
级数收敛,则任意加括号后仍然收敛;
必要条件:级数收敛.(注意:不是充分条件!)
审敛法
正项级数:,
定义:存在;
收敛有界;
比较审敛法:,为正项级数,且
若收敛,则收敛;若发散,则发散.
比较法的推论:,为正项级数,若存在正整数,当时,,而收敛,则收敛;若存在正整数,当时,,而发散,则发散.
比较法的极限形式:,为正项级数,若,而收敛,则收敛;若或,而发散,则发散.
比值法:为正项级数,设,则当时,级数收敛;则当时,级数发散;当时,级数可能收敛也可能发散.
根值法:为正项级数,设,则当时,级数收敛;则当时,级数发散;当时,级数可能收敛也可能发散.
极限审敛法:为正