文档介绍：数值分析实验报告
实验名称
雅可比方法和高斯-塞德尔方法的比较
实验时间
2009年6月
姓名
专业
学号
一、实验目的及内容
-塞德尔方法的基本原理
-塞德尔方法的收敛速度
二、方法提出
在科学计算与工程设计中,我们常会遇到求解线性方程组的问题,对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组,选主元消去法是解方程比较有效的方法,而对于系数矩阵为大型稀疏矩阵的情况,直接法就显得比较繁琐,而迭代法比较适用。比较常用的迭代法有雅可比方法与高斯-塞德尔方法。
三、相关背景知识
1、迭代法
对给定的方程组,用公式逐步代入求近似解的方法称为迭代法。
2、迭代法的收敛性
若:
则称矩阵序列依范数‖·‖收敛于A。
由范数的等价性可以推出,在某种范数意义下矩阵序列收敛,则在任何一种范数意义下该矩阵序列都收敛。因此,对矩阵序列收敛到矩阵,记为,而不强调是在那种范数意义下收敛。
3、迭代法的收敛速度
考察误差向量
设B有n个线性无关的特征向量,相应的特征值为,由
得
可以看出,当愈小时,愈快,即愈快,故可用量来刻划迭代法的收敛快慢。
4、雅可比迭代法
设线性方程组
(1)
的系数矩阵A可逆且主对角元素均不为零,令
并将A分解成
(2)
从而(1)可写成
令
其中。(3)
以为迭代矩阵的迭代法(公式) (4)
称为雅可比迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为
其中为初始向量。
由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法。在电算时需要两组存储单元,以存放及。
5、高斯-塞德尔迭代法
由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用,从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些。因此,对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯-塞德尔迭代法。
把矩阵A分解成
其中,-L,-U分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成
即
其中
以B2为迭代矩阵构成的迭代法(公式)
称为高斯-塞德尔迭代法(公式),用量表示的形式为
由此看出,高斯-塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在编程时,只需一组存储单元(计算出后不再使用,所以用冲掉,以便存放近似解)。
四、实验内容
选取课本第六章例1和课后****题2的题目来比较雅可比方法和高斯-塞德尔方法,比较两种方法的计算速度和收敛情况。本次实验采用VC++中的MFC制作界面,通过代码实现雅可比方法和高斯-塞德尔方法,并且同时显示两种方法迭代过程的中间过程,以及两种方法最终的收敛情况。
程序代码
//宏定义
#define EPS 1e-6
#define MAX 300
void CBijiaoDlg::OnJisuan()
{
// TODO: Add your control notification handler code here
UpdateData(true);
//清空list控件中的内容
();