文档介绍：2011年考研数学三真题
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。下列媒体给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。)
已知当x→0时,fx=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小,则
(A)k=1,c=4 (B) k=1,c=-4
(C)k=3,c=4 (D) k=3,c=-4
【答案】C。
【解析】
【方法一】
limx→03sinx-sin3xcxk=limx→03cosx-3cos3xckxk-1 (洛必达法则)
=3limx→0-sinx+3sin3xck(k-1)xk-2 (洛必达法则)
=1c(limx→0-sinx2x+limx→03sin3x2x) (k=3)
=1c-12+92=1
由此得c=4。
【方法二】
由泰勒公式知
sinx=x-x33!+o(x3)
sin3x=3x-3x33!+ o(x3)
则fx=3sinx-sin3x=3x-x32-3x+3x33!+ o(x3)
=4x3+ ox3~4x3 (x→0)
故k=3,c=4。
【方法三】
limx→03sinx-sin3xcxk=limx→03sinx-3x+3x-sin3xcxk
=1climx→03sinx-xxk+limx→03x-sin3xxk
=1climx→03∙(-16x3)xk+limx→016(3x)3xk
=1c-12+92 (k=3)
=82c=1
故c=4
综上所述,本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算
高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则
已知f(x)在x=0处可导,且f0=0,则limx→0x2fx-2f(x3)x3=
(A)-2f'(0) (B)-f'(0)
(C) f'(0) (D)0
【答案】B。
【解析】
【方法一】加项减项凑x=0处导数定义
limx→0x2fx-2f(x3)x3=limx→0x2fx-x2f0-2fx3+2f(0)x3
=limx→0fx-f0x-2fx3-f(0)x3
=f'0-2f'0=-f'(0)
【方法二】拆项用导数定义
limx→0x2fx-2f(x3)x3=limx→0fxx-2limx→0fx3x3
由于f0=0,由导数定义知
limx→0fxx=f'0, limx→0fx3x3=f'(0)
所以limx→0x2fx-2f(x3)x3=f'0-2f'0=-f'(0)
【方法三】排除法:选择符合条件的具体函数fx=x,则
limx→0x2fx-2f(x3)x3=limx→0x3-2x3x3=-1
而对于fx='0=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的,故应选(B)
【方法四】由于f(x)在x=0处可导,则
fx=f0+f'0x+ox=f'0x+o(x)
fx3=f'0x3+o(x3)
limx→0x2fx-2f(x3)x3=limx→0x2[f'0x+o(x)]-2[f'0x3+o(x3)]x3
=f'0-2f'0=-f'(0)
综上所述,本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念,导数和微分的四则运算
设{un}是数列,则下列命题正确的是
若n=1∞un收敛,则n=1∞(u2n-1+u2n)收敛。
若n=1∞(u2n-1+u2n)收敛,则n=1∞un收敛。
若n=1∞un收敛,则n=1∞(u2n-1-u2n)收敛。
若n=1∞(u2n-1-u2n)收敛,则n=1∞un收敛。
【答案】A。
【解析】
若n=1∞un收敛,则该级数加括号后得到的级数仍收敛
综上所述,本题正确答案是A。
【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件
设I=0π4lnsinxdx,J=0π4lncotxdx,K=0π4lncosxdx,则I,J,K的大小关系为
(A) I<J<K (B) I<K<J
(C) J<I<K (D)K<J<I
【答案】B。
【解析】
同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小,
由于当0<x<π4时,0<sinx<cosx<1<cotx
又因为lnx为(0,+∞)上的单调增函数,所以
lnsinx<lncosx<lncotx , 0<x<π4
故0π4lnsinxdx<0π4lncosxdx<0π4lncotxdx
即I<K<J
综上所述,本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质
设A为3阶矩阵,将A第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行和第3行得单位矩阵,记P1=100110001, P2=100001