文档介绍：
(1)基本不等式成立的条件:
(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.
[探究] “当且仅当”的含义?
提示:①当时,取等号,即
②仅当时,取等号,即
设则的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数.
已知则
(1)如果积是定值那么当且仅当时,有最小值是(简记:积定和最小).
(2)如果和是定值,那么当且仅当时,有最大值是(简记:和定积最大).
[探究] (小)值时,等号取不到时,如何处理?
提示:当等号取不到时,,在时的最小值,利用单调性,易知时
[自测·牛刀小试]
( )
解析:选A 因为m>0,n>0,所以m+n≥2=2=18.
,则( )
+ +
( )
.
,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于、两点,则线段长的最小值是________.
利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知求证:
保持例题条件不变,证明: + ≤2.
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利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项、并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.
:
利用基本不等式求最值
[例2] (1)(2012·浙江高考)若满足则的最小值是( )
A. B.
(2)已知则的最大值为________.
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应用基本不等式求最值的条件
利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)一正二定三相等.“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
1.(1)函数的图象过定点若点在直线上,求的最小值;
(2)若正数满足求的取值范围.
利用基本不等式解决实际问题
[例3] 为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2014年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元满足(为常数).如果不搞促销活动,,每生产1万件该产品需要再投入12万元,(产品成本包括固定投入和再投入两部分).
(1)将该厂家2014年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数;
(2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?
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解实际应用题时应注意的问题
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需再利用基本不等式求得函数的最值;
(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求.
(4)有些实际问题中,要求最值的量需要用几个变量表示,同时这几个变量满足某个关系式,这时问题就变成了一个条件最值,可用求条件最值的方法求最值.
,年销售量8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最高为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,,,投入万元作为固定宣传费用,:当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
1个技巧——公式的逆用
运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如逆用就是逆用就是等,还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.
2个变形——基本不等式的变形