文档介绍：九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题
一、基础知识
(一)反比例函数的概念
1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;
2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;
,故函数图象与x轴、y轴无交点.
(二)反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称).
(三)反比例函数及其图象的性质
:()
:
:
(1)图象的形状:双曲线.
越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直. 越小,图象的弯曲度越大.
(2)图象的位置和性质:
与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线.
当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小;
当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大.
(3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)在双曲线的另一支上.
图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在双曲线的另一支上.

如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是).
如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.

图1 图2
:
(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.
(2)直线与双曲线的关系:
当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.
(3)反比例函数与一次函数的联系.
(四)实际问题与反比例函数
:
(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式.
,但重点放在对数学知识的研究上.
(五)充分利用数形结合的思想解决问题.
三、例题分析

(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是( ).
=3x B. =1 D.
(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是( ).
A. B. C. D.
答案:(1)C;(2)A.

(1)已知函数是反比例函数,
①若它的图象在第二、四象限内,那么k=___________.
②若y随x的增大而减小,那么k=___________.
(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象位于第________象限.
(3)若反比例函数经过点(,2),则一次函数的图象一定不经过第_____象限.
(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数的图象上,
则直线不经过的象限是( ).

(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比例函数图象上的两点,
则一次函数y=kx+m的图象经过( ).
、二、三象限、二、四象限
、三、四象限、三、四象限
(6)已知函数和(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是( ).

A. B. C. D.
答案:(1)①②1;(2)一、三;(3)四;(4)C;(5)C;(6)B.

(1)在反比例函数的图象上有两点,,且,则的值为( ).

(2)在函数(a为常数)的图象上有三个点,,,则函数值、、的大小关系是( ).
A.<< B.<< C.<< D.
<<
(3)下列四个函数中:①;②;③;④.
y随x的增大而减小的函数有( ).

(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例函数的函数值y随x的增大而(填“增大”或“减小”).
答案:(1)A;(2)D;(3)B.
注意,(3)中只有②是符合题意的,而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小.

(1)若与成反比例,与成正比例,则y是z的( ).

(2)若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为(2,m),则m=