文档介绍：线面垂直与面面垂直
基础要点
线面垂直
面面垂直
线线垂直
、若直线与平面所成的角相等,则平面与的位置关系是( B )
A、 B、不一定平行于 C、不平行于 D、以上结论都不正确
、在斜三棱柱,,又,过作⊥底面ABC,垂足为H ,则H一定在( B )
A、直线AC上 B、直线AB上 C、直线BC上 D、△ABC的内部
、如图示,平面⊥平面,与两平面所成的角分别为和,过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为,则( A )
A、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:3
、如图示,直三棱柱中,,
DC上有一动点P,则△周长的最小值是
,,
若棱AB上存在点P,使得,则棱AD长
的取值范围是。
题型一:直线、平面垂直的应用
1.(2014,江苏卷)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点. 已知.
求证:(1) ;(2) .
证明: (1) 因为D,E分别为棱PC,AC的中点,
所以DE∥PA.
又因为PA ⊄平面DEF,DE Ì平面DEF,
所以直线PA∥平面DEF.
(2) 因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=PA=3,EF=BC=4.
又因 DF=5,故DF2=DE2+EF2,
所以∠DEF=90°,即DE丄EF.
又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.
因为AC∩EF=E,ACÌ平面ABC,EFÌ平面ABC,所以DE⊥平面ABC.
又DEÌ平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.
2. (2014,北京卷,文科)如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,,、分别为、的中点.
(1)求证:平面平面;(2)求证:平面.
证明:(1)在三棱柱中,
.
(2)取AB的中点G,连接EG,FG
、分别为、的中点, ,
,则四边形为平行四边形,
.
,是所在平面外的一点,且平面,.
分析:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直..
证明:在平面内作,,平面,且,,于是有①.另外平面,平面,①②及,,所以.
说明:在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直线面垂直线线垂直.
4. 过点引三条不共面的直线、、,如图,,,若截取
(1)求证:平面平面;
(2)求到平面的距离.
分析:要证明平面平面,根据面面垂直的判定定理,须在平面或平面内找到一条与另一个平面垂直的直线.
(1)证明:∵,
又,
∴和都是等边三角形,
∴,
取的中点,连结,∴.
在中,,∴,,
∴,∴.
在中,∴,,,
∴,∴,∴平面.
∵平面,∴平面平面.
或:∵,∴顶点在平面内的射影为的外心,
又为,∴在斜边上,
又为等腰直角三角形,∴为的中点,
∴平面.∵平面,∴平面平面.
(2)解:由前所证:,,∴平面,
∴的长即为点到平面的距离,,
∴点到平面的距离为.
、如图示,ABCD为长方形,SA垂直于ABCD所在平面,过A且垂直于