文档介绍：高等数学知识要点整理
第一章函数、极限、连续
重要的等价无穷小量代换
两个重要极限
各类无穷小的定义
幂指函数的相关结论
则
当时,以下各函数趋于的速度:
渐近线
水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线
若, 或,
则是曲线的一条斜渐近线。(一般的都有斜渐近线)
极限的定理
设, 那么:
(1)
(2)
(3)
(4)
①在与都存在的条件下才有
②若与中一个存在一个不存在,则有结论不存在
③若与中两个都不存在,那么与可能两个都不存在,或者一个存在一个不存在,但绝对不会两个都存在。不能将
关于间断点
第一间断点:可去间断点,跳跃间断点(左、右极限都存在)
第二间断点:无穷间断点,振荡间断点(左、右极限至少一个不存在)
相关性质:①设在处有跳跃间断点,则在任意一个包含在其内部的区间上, 必不存在原函数
函数的性质
一切初等函数在其定义区间都是连续的。
有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数在该区间上有界性且一定能取得它的最大值和最小值
第二章一元函数微分学
导数的定义
二阶导数
复合函数的可导性判断
若在处可导,在处连续但不可导,则当时在处不可导,当时,在处可导,且
反函数的求导法则
设的反函数,两者皆可导,且
则
反函数的二阶求导
微分的定义
设函数在某区间内有定义,及在这区间内,
如果增量
那可表示为: 其中
全微分的近似计算
费马定理
若在处可导且取极限,且取得极值,则
罗尔定理
如果函数满足
(1)在闭区间上连续
(2)在开区间内可导
(3)在区间端口处的函数值相等,即
那么在内至少有一点(),使得
介值定理
设函数在闭区间上连续,且在这区间的端口取不同的函数值:及
那么对于A与B之间的任意一个数C,在开区间内至少有一点,使。
零点定理
设函数在闭区间上连续,且与异号(即),那么在开区间内
至少有一点,使=0
拉格朗日中值定理
如果函数满足
(1)在闭区间上连续
(2)在开区间内可导
那么在内至少有一点(),使等式
柯西中值定理
若函数及满足在上连续,在上可导,则对任一,,
那么在内至少存在一点,使
函数的单调性与曲线的凹凸性
定理1:设函数在上连续,在内可导
(1)如果在内,那么函数在上单调递增
(2)如果在内,那么函数在上单调减少
定理2:设函数在上连续,在内具有一阶与二阶导数
(1)若如果在内,则在上的图形是凹的。
(2)若如果在内,则在上的图形是凸的。
定理3:(第二充分条件)设函数在处具有二阶导数且则
当,函数在处取得极大值
当,函数在处取得极小值
连续导数定理
设在处连续,在的某去心邻域内可导,并设存在且等于,则亦存在且等于
第三章一元函数积分学
利用定积分的定义求极限
定积分的导数
牛顿-莱布尼兹公式
如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则
分部积分法
上连续且为奇函数
积分的性质
上连续且为偶函数
定积分的三角公式
(是[0,1]上的连续函数)
三角代换
被积函数中含有常用代换
被积函数中含有常用代换
被积函数中含有常用代换
注:
原函数的奇偶性、周期性
定理1 若连续函数是上的奇(偶)函数,则
是偶(奇)函数
推论1 奇函数的原函数是偶函数,注意:当为奇函数时,也是偶函数
偶函数的原函数等于唯一的奇函数和一个任意常数之和。
定理2 设是上的连续周期函数,且周期为,是它在上的一个原函数,
则下列条件等价:
(1) 是上的周期函数;
(2) 是上有界;
(3)对任意实数,有
推论2 若是上的连续周期函数,是它在上的一个原函数,且也是周期函数,则与有相同的周期
推论3 若是上的连续周期函数, 其周期为,是它在上的一个原函数,则是上一个以为周期的周期函数,即可以表示为一个周期函数与一个线性函数的和
定理3 设是以为周期的连续函数,则
以为周期的充要条件是
定积分中值定理
如果函数在积分区间上连续,则在上至少有一点,
使
函数的平均值
旋转体的体积
由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形,绕轴旋转一周而成的立体
故
由连续曲线、直线、与轴所围成的曲边梯形,绕轴旋转一周而成的立体
故或
泰勒中值定理
如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数,则对任一
,存在:
其中: (是与之间的某个值)
佩亚诺型余项: 拉格朗日型余项:
带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式
带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式
第四章多元函数微分学
多元函数微分法—锁链公式
模型:设
模型:设
全微分的定义
设函数在点的某邻域内有定义,如果函