文档介绍：第三章:不等式
1、不等式的基本性质
①(对称性) ②(传递性) ③(可加性)
(同向可加性) (异向可减性)
④(可积性)
⑤(同向正数可乘性) (异向正数可除性)
⑥(平方法则) ⑦(开方法则)
⑧(倒数法则)
2、几个重要不等式
①,(当且仅当时取号). 变形公式:
②(基本不等式) ,(当且仅当时取到等号).
变形公式: 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③(三个正数的算术—几何平均不等式)(当且仅当时取到等号).
④(当且仅当时取到等号).
⑤(当且仅当时取到等号).
⑥(当仅当a=b时取等号)(当仅当a=b时取等号)
⑦其中规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小.
⑧
⑨绝对值三角不等式
3、几个著名不等式①平均不等式:,(当且仅当时取号).(即调和平均几何平均算术平均平方平均).
变形公式:
②幂平均不等式:
③二维形式的三角不等式:
④二维形式的柯西不等式当且仅当时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:
⑥一般形式的柯西不等式:
⑦向量形式的柯西不等式:
设是两个向量,则当且仅当是零向量,或存在实数,使时,等号成立.
⑧排序不等式(排序原理):
,则
(反序和乱序和顺序和)
当且仅当或时,反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸(或凹)函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法:
①舍去或加上一些项,如
②将分子或分母放大(缩小),如
等.
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式解集的步骤:
一化:::::根据图象写出不等式的解集.
规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.
6、高次不等式的解法:,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向,写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则(时同理)
规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解
⑴⑵
⑶⑷
⑸
规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等式的解法:
⑴当时,⑵当时,
规律:根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
⑴当时, ⑵当时,
规律:根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法:⑴定义法:⑵平方法:
⑶同解变形法,其同解定理有:
①②
③④
规律:关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法:
规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
解形如且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:
⑴讨论与0的大小;⑵讨论与0的大小;⑶讨论两根的大小.
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