文档介绍：圆综合练****br/>【例题精选】:
例1、已知PA切⊙O于A, AB^OP于B, PO = 12cm, OB = 3cm, 求PA长。
分析: 因为有PA切⊙O于A, 根据切线的性质, 切线垂直于过切点的半径, 可以得到直角三角形, 又因为AB^PO于B, 可以利用相似三角形的知识去进行计算, 再利用直角三角形去计算。
解: 连接OA
∵PA切⊙O于A,
∴OA^PA于A, ÐPAO = 90°
又∵AB^OP于B
∴ABO∽AOP
∴OA2 = OB·PO
∴OA2 = 3×12
∴OA = 6
在RtAPO中
说明: 有切线时, 经常加的辅助线是连切点与圆心, 也常利用直角三角形中的有关知识, 利用相似形的知识进行计算。
例2、PA切⊙O于A, 过O的割线PO交⊙O于B, PA = , PB = 2, 求⊙O的半径。
分析: 图中有圆O的切线, 则可做过切点的半径, 则有直角三角形中的关系, 可设半径为x, 那么其它各直角边可用含有x的式子表示, 再利用方程思想, 找到等量关系列出方程, 可以求出未知数的值。
解: 连接OA,
∵PA切⊙O于A,
∴OA^PA
设⊙O的半径为R
∵PB = 2, 则PO = 2 + R
在RtPAO中,
∴
∴
解得R = 4
∴圆的半径为4
说明: 方程思想是一种重要的数学思想, 将已知数, 未知数找到等量关系, 列出方程, 求出未知数的值, 要学会构通已知与未知的联系, 利用方程思想考虑问题。
例3、已知OA为⊙O的半径, C是⊙O上一点, CD^OA于D, B是OA延长线上一点, CA平分ÐBCD, 求证: BC是⊙O的切线。
分析: 要证BC是⊙O的切线, 根据判定定理可以证BC是切线, 因为圆上有点, 属于圆上有点, 可以连结圆心与圆上点, 证明垂直。
证明: 连结OC,
∵CA平分ÐBCD, ÐBCA = ÐACD,
∵OA = OC, ∴ÐOAC = ÐOCA, ∵CD^AO于D
∴ÐOAC + Ð2 = 90°
又∵Ð1 = Ð2
∴Ð1 + ÐOCA = 90°
∴OC^BC
∴BC为⊙O的切线。
说明: 切线的判定要看所证直线是否与圆有交点, 当有交点时, 可以用判定定理证, 因此辅助线是连接圆心与已知点, 再证明垂直关系, 若没有已知点时, 可以做垂线, 证明垂线长等于圆的半径, 即利用圆心到直线距离等于半径而判定直线与圆相切。
例4、已知ABC的内切圆分别与AB、BC、AC内切于D、E、F, ÐA = 60°, BC = 6, ABC 周长为16, 求DF。
分析: 已知条件中知⊙O与三角形三边相切, 切点为D, E, F, 已知ABC周长为16, 求的DF线段要找到与三角形其它边的关系。可以由切线长定理找到关系。
解: ∵AB切⊙O于D, AC切⊙O于F,
∴AD = AF,
又∵ÐA = 60°
∴ADF为等边三角形
∴AD = DF = AF
又∵⊙O为ABC的内切圆
AB, BC, AC切⊙O于D, E, F
∴BD = BE, CF = CE
又∵AB + BC +