文档介绍：函数极限连续
B
A
O
x
y
P
M
问题1. 上岸点的问题
有一个士兵P,在一个半径为R的圆形游泳池(图1—1)
内游泳,当他位于点()时,听到紧急集
合号,于是得马上赶回位于A=(2R,0)处的营房去,设该士
兵水中游泳的速度为,陆地上跑步的速度为,求赶回营房
所需的时间t与上岸点M位置的函数关系。
图1-1
解:这里需要求的是时间t与上岸点M位置的函数关系,所以一定要先把上岸点M的位置数字化,根据本题特点可设
其中为M的周向坐标(即极坐标系中的极角),于是本题就成为了求函数关系的问题。由对称性,我们可只讨论在上半圆周上岸的情况,即先确定函数的定义域为。
该士兵在水中游泳所花的时间为
而在陆地上跑步所需的时间,则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论:
当时,有;
当时,要先跑一段圆弧,再跑一段且线段,所以
。
综上所述,可得
问题2 外币兑换中的损失
某人从美国到加拿大去度假,他把美元兑换成加拿大元时,币面数值增加12%,回国后他发现把加拿大元兑换成美元
时,币面数值减少12%。把这两个函数表示出来,并证明这两个函数不互为反函数,即经过这么一来一回的兑换后,他亏损了一些钱。
解:设为将x美元兑换成的加拿大元数,为将x加拿大元兑换成的美元数,则
而故,不互为反函数。
思考题:设一美国人准备到加拿大去度假,他把1000美元兑换成加拿大元,但因未能去成,于是又将加拿大元兑换成了美元,问题亏损了多少钱?()
问题3 黄山旅游问题
一个旅游者,某日早上7点钟离开安徽黄山脚下的旅馆,沿着一条上山的路,在当天下午7点钟走到黄山顶上的旅馆。第二天早上7点钟,他从山顶沿原路下山,在当天下午7点钟回到黄山脚下的旅馆。试证明在这条路上存在这样一个点,旅游者在两天的同一时刻都经过此点。
证明:设两个旅馆之间的路程为L,以表示在时刻该旅游者离开山脚下的旅馆的路程,则可知是区间上的连续函数,且有,。
以表示该旅游者在第二天下山时在与前一天相同时刻尚未走完的路程,则可知是区间上的连续函数,且有,。
于是原问题可转化为:证明存在,使。
作辅助函数,则在区间上连续,且有
,
根据闭区间上连续函数的零值定理可知,一定存在,使。就得到了所需要证明的结论。
问题4 利润与销量之间的函数关系
收音机每台售价90元,成本为60元。厂家为鼓励销售商大量采购,军队凡是订购量超过100台以上的,每多订购一台,售价就降低1分(例如,某商行订购了300台,订购量比100台多200台,=2(元),商行可以按88元/台的价格购进300台),但最低价为75元/台。
把每台的实际售价p表示为订购量x的函数;
把利润P表示成订购量x的函数;
当一商行订购了1000台时,厂家可获利多少?
解:1)当时售价为90元/台。
现在计算订购量x是多少台时售价降为75元/台,
90-75 =15,=1500
所以,当订购量超过1500+100台时,每台售价为75元。当订购量在100~1600时,售价为90-(x-100)*,因而实际售价p与订购量之间的函数关系为
2)每台利润是实际售价p与成本之差
P=(p-60)x
3)由1)先计算出p=90-(1000-100)*=81。再有2)可知
P=(81-60)*1000=21000(元)
问题5 i数列与黄金分割问题
“有小兔一对,若第二个月它们成年,第三个月生下小兔一对,以后每月生产一对小兔,以后亦每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄,且均无死亡,试问一年后共有小兔几对?”
解:这是意大利数学家斐波那契(i,L)在1202年所著“算法之书”(又译《算盘书》(Liberabaci))中的一个题目。他是这样解答的:若用“○”、“△”分别表示一对未成年和成年的兔子(简称仔兔和成兔),则根据题设有:
从上图可知,六月份共有兔子13对;还可看出,从三月份开始,每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和。按这规律可写出数列:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可见一年后共有兔子233对。
这是一个有限项数列,i数列,i数。
若设F0=1,F1=1,F2=2,F3=3,F4=5,F5=8,F6=13,…
则此数列应有下面的递推关系:
Fn+2 = Fn+1 + Fn(n = 0,1,2,…)
这个关系可用数学归纳法来证明,其中的通项
是由法国数学家比内()求出的。
i数列紧密相关的一个重要极限是
(1)
或者(2)
下面我们先来说明(2)式的含义并证明之(至于(1)式的含义见后面的说明)。
记,