文档介绍：第三章量子力学中的力学量
算符
厄米算符的本征函数
动量算符和角动量算符
电子在库仑场中的运动
基本对易关系
重点:厄米算符平均值角动量算符对易关系
第一节算符 operator
算符
算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号
就是一个算符
算符的引入规则
如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量,则表示这个力学量的算符由经典表示式F(r,p)中将动量p换为动量算符得出
名称
力学量
Operator 算符
坐标
动量
势能
动能
总能量
角动量
经常遇到的力学量所对应的算符
简并 degeneration
当算符Â的某一本征值n的本征函数不止一个,而是 f 个线性无关的函数n1、n2、nf,则称该本征值 f 度简并。
若一个算符作用在波函数上得出一个常数乘以该波函数,如,则称此方程为该算符的本征方程,称此常数fn为算符F的第n个本征值,波函数为fn相应的本征波函数
算符的本征值和本征函数
线性算符 linear operator
设u1、 u2为任意函数,c1、c2是任意两个复常数,如果
则称Â为线性算符
x、d/dx是线性算符,而开方运算不是线性算符
量子力学中用来表示力学量的算符,都是线性算符
是态叠加原理的要求
设
根据态的叠加原理
也就是假设说是二度简并的
也是算符Â的本征态,应有
当Â为线性算符时
1 厄米算符 Hermitian operator
设u、 v为两个任意函数,如果算符Â满足
则称Â为厄米算符
量子力学中代表力学量的算符必须是线性厄米算符
——量子力学的又一基本概念
厄米算符在任意状态下的平均值必须是实数
力学量观测值必须是实数,要求算符的本征值是实数
线性厄米算符的作用就是把态空间中的一个元素变成另一个
元素
线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系
利用归一化条件
用*左乘上式并对全空间积分
根据本征函数的完全性
力学量的平均值为:
所以为在Ψn态中,A取λn的几率
状态时,粒子的能量?
也就是说,此时粒子不处于本征态。
在此状态下,测量粒子的能量
由于波函数是归一化的
本征函数为:
解:
例:设粒子在一维无限势阱(0,a)中运动,如果描述粒子状态的波函数为