文档介绍：函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数中的自变量x的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手:
(1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。
(3)对数中的真数部分大于0。
(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5)y=tanx中x≠kπ+π/2;y=cotx中x≠kπ等等。
( 6 )中x
二、值域是函数中y的取值范围。
常用的求值域的方法: (1)直接法(2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法
(4)配方法(5)换元法(包括三角换元) (6)反函数法(逆求法)
(7)分离常数法(8)判别式法(9)复合函数法
(10)不等式法(11)平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析
1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域:
①;②;③
解:①∵x-2=0,即x=2时,分式无意义,
而时,分式有意义,∴这个函数的定义域是.
②∵3x+2<0,即x<-时,根式无意义,
而,即时,根式才有意义,
∴这个函数的定义域是{|}.
③∵当,即且时,根式和分式同时有意义,
∴这个函数的定义域是{|且}
另解:要使函数有意义,必须: Þ
例2 求下列函数的定义域:
①②
③④
⑤
解:①要使函数有意义,必须: 即:
∴函数的定义域为: []
②要使函数有意义,必须:
∴定义域为:{ x|}
③要使函数有意义,必须: Þ
∴函数的定义域为:
④要使函数有意义,必须:
∴定义域为:
⑤要使函数有意义,必须:
即 x< 或 x> ∴定义域为:
例3 若函数的定义域是R,求实数a 的取值范围
解:∵定义域是R,∴
∴
例4 若函数的定义域为[-1,1],求函数的定义域
解:要使函数有意义,必须:
∴函数的定义域为:
例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x-1)的定义域。
分析:法则f要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x-1上必也要求2x-1在[-1,1]内取值,即-1
≤2x-1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x-1)中2x-1与f(x)中的x位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x-1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
(注意:f(x)中的x与f(2x-1)中的x不是同一个x,即它们意义不同。)
解:∵f(x)的定义域为[-1,1],
∴-1≤2x-1≤1,解之0≤x≤1,
∴f(2x-1)的定义域为[0,1]。
例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x2)的定义域。
答案:-1≤x2≤1 x2≤1-1≤x≤1
练习:设的定义域是[-3,],求函数的定义域
解:要使函数有意义,必须: 得:
∵≥0 ∴
∴函数的定域义为:
例7已知f(2x-1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域
因为2x-1是R上的单调递增函数,因此由2x-1, x∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。
已知f(3x-1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。)
(提示:定义域是自变量x的取值范围)
练习:
已知f(x2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域
若的定义域是,则函数的定义域是 ( )
A. B C. D.
已知函数的定义域为A,函数的定义域为B,则( )
A. C. D.
2、求值域问题
利用常见函数的值域来求(直接法)
一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;
反比例函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0};
二次函数的定义域为R,
当a>0时,值域为{};当a<0时,值域为{}.
例1 求下列函数的值域
① y=3x+2(-1x1) ②
③(记住图像)
解:①∵-1x1,∴-33x3,
∴-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1,5]
②略
③当x>0,∴=,
当x<0时,=-
∴值域是[2,+).(此法也称为配方法)
函数的图像为:
二次函数在区间上的值域(最值):
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:
①; ②;
③; ④;
解:∵,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,
∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y-3 }.
②∵顶点横坐标2[3,4],
当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;
∴在[3,4]上,=-2,=1;值域为[-2,1].
③∵顶点横坐标2 [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,
∴在[0,1]上,=-2,=1;值域为[-2,1