线性代数知识点全面总结.ppt

文档介绍：矩阵
矩阵是线性代数的核心,矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终,对矩阵的理解与掌握要扎实深入。
理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩
阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵,以及它们的性质。
掌握矩阵的线性运算、乘法、转置,以及它们的运算规律,
了解方阵的幂与方阵乘积的行列式。正确理解逆矩阵的概
念,掌握逆矩阵的性质,以及矩阵可逆的充分必要条件,
理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵。掌握矩阵
的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念,正
确理解矩阵的秩的概念,熟练掌握用初等变换求矩阵的秩
和逆矩阵的方法。了解分块矩阵及其运算。必须会解矩阵
方程。
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概念
特殊矩阵
m×n个数aij (i = 1,2,…,m ; j =1,2,…,n)
构成的数表
单位矩阵: 主对角线元素都是1,其余元素都是零的 n 阶方阵 E
对角矩阵:主对角元素是其余元素都是零的n阶方阵Λ
对称矩阵:
一、矩阵主要知识网络图
AT = A
反对称矩阵: AT = -A
矩阵
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运算
A+B = ( aij + bij)
kA= ( kaij )
AB = C 其中
A与B同型
的第 i 行是 A 的第 i 列.
|A|= detA
, A必须是方阵.
伴随矩阵
n 阶行列式的|A|所有元素的代数余子式构成的矩阵
AT: AT
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逆矩阵
概念
求法
证法
如果AB=BA=E,则A可逆, B是A的逆矩阵.
用定义
用伴随矩阵
分块对角矩阵
|A| ≠ 0 , A可逆.
|A| = 0 , A不可逆.
AB = E , A与B互逆.
反证法.
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二、重要定理
1、设A、B是n阶矩阵,则|AB|=|A||B|。
2、若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵惟一。
3、n阶矩阵A可逆⇔|A| ≠ 0
⇔ R(A)=n
⇔ A为满秩矩阵。
4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。
5、若A为对称矩阵,则AT =A 。
6、若A为反对称矩阵,则AT=-A 。
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三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
A + B = B + A ;
(A + B ) + C = A + ( B + C );
A + O = O + A = A;
A + (-A) = O;
k(lA) = (kl)A ;
(k+l)A = kA+ lA ;
k( A + B )= kA + kB ;
1A = A, OA = O 。
2、矩阵的乘法
(AB)C = A ( BC ) ; (2) A ( B + C ) = AB + AC;
( A + B ) C = AC + BC;
(3) (kA)(lB) = (kl)AB; (4) AO =OA = O.
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3、矩阵的转置
(AT)T = A; (2) (A+B)T = AT+BT;
(3)(kA)T =kAT; (4) (AB)T = BTAT.
4、矩阵的逆
(A-1)-1 = A ; (2) (kA)-1 = k-1A-1 ;
(3) (AB)-1 = B-1A-1; (4) (AT)-1 = (A-1)T .
5、伴随矩阵
AA* = A*A = |A|E ; (2) (kA)* =kn-1A* ;
(3) (A*)-1 = (A-1)*= |A|-1A; (4) (AT)* = (A*)T .
6、n阶方阵的行列式
|AT| = |A|; (2) |kA| = kn|A| ;
(3) |AB| = |A||B| ; (4) |A-1| = |A|-1 ;
(5) |A*| = |A|n-1 .
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四、典型例题
1、方阵的幂运算
2、求逆矩阵
3、解矩阵方程
4、A*题
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