文档介绍：第一章蒙特卡罗方法概述
蒙特卡罗方法的基本思想
蒙特卡罗方法的收敛性,误差
蒙特卡罗方法的特点
作业
蒙特卡罗方法的基本思想
20世纪40年代,由于科学技术的发展和电子计算机的发明,蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来,并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。但其基本思想并非新颖。
早在1777年,法国数学家蒲丰(es Louis Leclere de Buffon,1707—1788)提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡罗方法的起源。
举两个典型例子
例1. 蒲丰氏问题
例2. 射击问题(打靶游戏)
其中N为投计次数,n为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。
为了求得圆周率π值,在十九世纪后期,有很多人作了这样的试验:将长为2l的一根针任意投到地面上,用针与一组相间距离为2a( l<a)的平行线相交的频率代替概率P,再利用准确的关系式:
求出π值
例1. 蒲丰氏问题
实验者
年份
投计次数
π的实验值
沃尔弗(Wolf)
1850
5000
斯密思(Smith)
1855
3204
福克斯(Fox)
1894
1120
拉查里尼(Lazzarini)
1901
3408
一些人进行了实验,其结果列于下表:
例2. 射击问题(打靶游戏)
设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离,g(r)表示击中r处相应的得分数(环数),f(r)为该运动员的弹着点的分布密度函数,它反映运动员的射击水平。该运动员的射击成绩为
用概率语言来说,<g>是随机变量g(r)的数学期望,即
现假设该运动员进行了N次射击,每次射击的弹着点依次为r1,r2,…,rN,则N次得分g(r1),g(r2),…,g(rN)的算术平均值
代表了该运动员的成绩。换言之,为积分<g>的估计值,或近似值。
在该例中,用N次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望<g>的估计值(积分近似值)。
蒙特卡罗的基本思想
由以上两个例子可以看出,当所求问题的解是某个事件的概率,或者是某个随机变量的数学期望,或者是与概率、数学期望有关的量时,通过某种试验的方法,得出该事件发生的频率,或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值,通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
当随机变量的取值仅为1或0时,它的数学期望就是某个事件的概率。或者说,某种事件的概率也是随机变量(仅取值为1或0)的数学期望。
因此,可以通俗地说,蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分,即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随机变量g(r)的数学期望
通过某种试验,得到N个观察值r1,r2,…,rN(用概率语言来说,从分布密度函数f(r)中抽取N个子样r1,r2,…,rN,),将相应的N个随机变量的值g(r1),g(r2),…,g(rN)的算术平均值
作为积分的估计值(近似值)。
为了得到具有一定精确度的近似解,所需试验的次数是很多的,通过人工方法作大量的试验相当困难,甚至是不可能的。因此,蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出,却很少被使用。
二十世纪四十年代以来,由于电子计算机的出现,使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程,把巨大数目的随机试验交由计算机完成,使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用,在现代化的科学技术中发挥应有的作用。