文档介绍：实验目的
理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
掌握动态法测量杨氏模量的基本方法,学会用动态法测量杨氏模量。
了解压电陶瓷换能器的功能,熟悉信号源和示波器的使用。学会用示波器观察判断样品共振的方法。
培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
实验原理:
在一定条件下,试样振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。如果在实验中测出试样在不同温度下的固有频率,就可以计算出试样在不同温度下的杨氏模量。
根据杆的横振动方程式
(1)
式中为杆的密度,S为杆的截面积, 称为惯量矩(取决于截面的形状),E即为杨氏模量。
y
x
x
O
图1 细长棒的弯曲振动
y
x
x
L
如图1所示,长度L远远大于直径d(L>>d)的一细长棒,作微小横振动(弯曲振动)时满足的动力学方程(横振动方程)为
(1)
棒的轴线沿x方向,式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移,E为杨氏模量,单位为Pa或N/m2;ρ为材料密度;S为截面积;J为某一截面的转动惯量,。
横振动方程的边界条件为:棒的两端(x=0、L)是自由端,端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程(1),令,则有
(2)
由于等式两边分别是两个变量x和t的函数,所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。假设此常数为K4,则可得到下列两个方程
(3)
(4)
如果棒中每点都作简谐振动,则上述两方程的通解分别为
(5)
于是可以得出
(6)
式中
(7)
式(7)称为频率公式,适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点(或支撑点)在试样的节点,则根据边界条件可以得到
(8)
采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系
KnL=0,,,,,……(9)

(a) n=1 (b) n=2
图2 两端自由的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形
其中第一个根K0L=0对应试样静止状态;第二个根记为K1L=,所对应的试样振动频率称为基振频率(基频)或称固有频率,此时的振动状态如图2(a)所示;第三个根K2L=(b)所示,称为一次谐波。由此可知,试样在作基频振动时存在两个节点,。将基频对应的K1值代入频率公式,可得到杨氏模量为
(10)
如果试样为圆棒(d<<L),则,所以式(10)可改写为
(11)
同样,对于矩形棒试样则有
(12)
式中m为棒的质量,f为基频振动的固有频率,d为圆棒直径,b和h分别为矩形棒的宽度和高度。
如果圆棒试样不能满足d<<L时,式(11)应乘上一个修正系数T1,即
(13)
上式中的修正系数T1可以根据径长比d/L的泊松比查表1得到。
表1 径长比与修正系数的对应关系
径长比d/L

修正系数T1

由式(10)~(12)可知,对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态杨氏模量,所以