文档介绍：运用拓扑优化和分数阶扩散的图像去噪方法
张文娟1 2 *, 王艳红1
(1. 西安工业大学理学院,陕西西安 710032;
2. 西安电子科技大学理学院,陕西西安 710071)
摘要:(目的)针对目前经典的图像去噪方法去掉图像噪声的同时使得边缘变得模糊这一局限性,提出了一种利用拓扑导数和分数阶扩散的图像去噪方法。(方法)基于拓扑优化的思想,以拓扑导数为指标,提取边缘点,并在边缘点处选取最优的各向异性扩散系数。利用对时间的分数阶扩散方程对图像扩散。(结果)本文确定扩散系数的方法具有全局性的特征。数值实验证明,算法能有效地去除图像中的噪声,并能很好地保留图像的边缘等细节信息。(结论)因此将分数阶扩散方法与拓扑优化思想相结合能获得很好的图像去噪效果。
关键词:图像去噪;热方程;波方程;分数阶扩散;拓扑导数;信噪比
中图分类号:TP391 文献标识码:A
(研究的重要意义)在一个图像系统中,从图像的获取、到图像的发送、传输、接收、输出(显示)、复制等,每一个环节都会产生干扰,都会使图像质量降低。如何对这些“降质”图像进行处理,满足实际需要,是图像处理的基本要求。图像去噪是图像处理主要内容之一,对于提高图像质量具有重要意义。(前人研究进展)最早用于图像去噪的偏微分方程是线性扩散方程,其结果等价于用Gauss函数对初始图像作卷积,相当于对图像作Gauss低通滤波。由于Gauss滤波器是各向同性的,这种滤波的结果是不仅平滑掉图像中的噪声,而且图像边缘也被模糊了。Perona和Malik[1]首先提出了能够保持边界的非线性各向异向扩散方程,简称PM模型:
, (1)
其中是原始图像,扩散系数,是非增函数,与图像梯度成反比。Perona和Malik给出了两个这样的扩散系数:和。其中常数(为阈值),和噪声的方差有关。由扩散率函数可见,PM模型利用图像梯度刻画边缘,在边缘处,图像梯度较大,扩散较小;在图像光滑区域,梯度较小,扩散较大。从而保证了在滤除光滑区域噪声的同时在一定程度上保持边界。此方程可看作求下列能量泛函的极小值
, (2)
这里, 为光滑的、关于梯度的增函数,满足:时, ,且与(1)中扩散系数之间的关系为
。(3)
虽然利用PM模型可以得到较好的去噪效果,但模型利用图像梯度模检测边缘是不稳定的,因为梯度算子对噪声敏感;另外,模型是病态的[2],其解的存在唯一性得不到解决。Weickert在[3]中对PM模型的各种正则化方法进行了详细综述,[2]等提出的正则化模型:
(4)
其中,是Gaussian函数,为滤波尺度,是原始图像。Catte采用Gauss导数检测图像边缘,降低了梯度模对噪声的敏感性,也证明了方程解的存在唯一性,从而克服了PM模型的病态问题。本文将这两个模型统称为PM模型。此外,Weickert的非线性张量扩散模型[3]也属于这一类型。
Cuesta在[4]中利用如下线性分数阶积分-微分方程在图像增强中控制扩散作用,
, (5)
初始条件为。表示对时间的阶数为的Rieman-Liouville (RL)分数阶积分。时,方程为线性抛物方程(热方程),随着时间增大其扩散作用越来越明显。当时,为线性双曲方程(波方程),扩散作用随时间逐渐下降。调节参数可以抑制扩散过程。Cuesta利