时间序列分析.doc

文档介绍：第二章 Hilbert空间和空间
中的预报
§
内积空间
,是上的线性空间,如果对于中任意的,都存在一个复数与其对应,满足条件
对任意
对及
(3) 对一切,而且
成立的充分必要条件是
则称为中的内积,为复内积空间。
,如果定义()
则是实内积空间.
例2.

()
欧氏空间中,向量的模即长度
()
内积空间的性质
Cauchy-Schwarz不等式:
设是内积空间,则对一切有
()
等式成立的充要条件是
()
内积空间内两元素之间的夹角
()
与正交的充要条件为
三角不等式
设是内积空间,则对一切,有
()
(模的性质)设是复(实)内积空间,
由()式定义,则
对
对
对一切成立的充要条件为
平行四边形公式:
设是内积空间,则对,有
(内积的连续性) 设是内积空间,是中的点列, ,
当时,,则当时,有
(1)
(2)
§ Hilbert空间、预报方程
Hilbert space
设是一线性空间,具有内积定义,并且是完备的(Cauchy列皆属于的极限点)
,则称为Hilbert空间.
例.
二、空间
设是概率空间,是定义在上的二阶矩有限的实随机变量的全体组成的集合,即
则是线性空间.
对,定义
()
为一内积.
中随机变量的模
空间中随机变量序列按模收敛定义为
称均方收敛于,记为
命题: 空间是完备的.
复空间内积:
()
如果是测度空间上任一非零有限测度,是定义在上的满足如下条件的复值函数集合
()
定义内积
()
则是Hilb