文档介绍：摘要:求解函数极限是高等数学的一个重要内容,本文主要探讨一元函数和二元函数极限的求法,详细介绍了一些常用的方法和技巧。并对一些例题进行了解析和说明。
关键词:一元函数;二元函数;极限
函数极限的求解是高等数学的基本运算,也是学生必备的基本技能,并且函数极限和以后许多章节的知识相联系,例如:导数的计算、定积分、曲线积分、幂级数等,它是我们学好后序章节知识的基础。因此,掌握其求解方法对以后的学****至关重要。函数的极限求解方法灵活多变,不易掌握,是高等数学的一个难点。本文就一元函数极限和二元函数极限的求法进行探讨,希望对学****高等数学的同学能有所帮助。
1 一元函数极限的求法
用定义求一元函数极限
趋于时的函数极限
定义1:函数在点的空心邻域内有定义,是一个确定的数,若对任意的正数,存在,使得当时,都有则称趋向于的极限存在,且为,记作.
下面举例说明如何根据定义来求这种函数极限,我们要特别注意的值是如何确定的,它和有什么关系。
例1 证明
证>0, <成立,解得<。
取于是存在0 << ,有<。
故。
注:一般的取值要依赖于,但它不是由唯一确定的。在上
例中还可以把取的更小一些。这取决于函数式放缩的程度。
趋向时的函数极限
定义2:设为定义在上的函数,为定值,若对任给
正数,存在正数(≥a ), 使得当>时有<。则称函数当时以为极限,记作或。
趋向于时的函数极限的定义与定义2相似,只要把定义中的>改为即可。
下面同样举例说明用定义求这种函数极限的方法。
例2 证明=
解析这是一个关于自变量n趋向于无穷大的函数极限,n相当于定义中的,先将函数式适当放大,再根据函数定义求证函数极限。
证,当,有,,
当时,有故=。
利用定义法求函数极限时要注意:
(1)在上面的①式中运用了适当放大的方法,这样求解比较简便。但要注意这种放大必须要“适度”,这样才能根据给定的来确定N,同时要注意此题中的N不一定非要是整数,只要是正数即可。
(2)函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关,函数极限表示的是自变量趋向某点时函数值的变化规律。
用定义法求函数极限较麻烦,一般不用。洛比达法则是比较常用的求函数极限的方法。
用洛比达法则求未定式极限
我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比形式的极限统称为未定式极限,记作型或型,其它能化成这两种极限形式的函数极限也称为未定式极限。对求解未定式极限来讲,洛比达法则是一种便捷而有效的方法。使用时要注意和其它方法结合,使求解过程简洁化。洛比达法则有以下几种形式:
型或型
对于这两种类型的未定式极限,直接用洛比达法则。下面是针对这两种极限形式的洛比达法则。
(1)型未定式函数极限
若①当时,。②的值存在,
且为(可以是无穷大)。③在点的某空心邻域内、都可导,且≠0 。那么
(2)型未定式函数极限
若①当时,。②的值存在
且为(可以是无穷大)。③在点的某空心邻域内、都可导,且≠0。那么
例3 求极限
解析当时,分子趋向于0,分母趋向于0,这是一个型极限,可直接用洛比达法则。
解由洛比达法则, =
注:若使用了洛比达法则后,分子分母导数之比依然符合洛比达法则,则可继续使用洛比达法则,直到求出函数极限值为止。例如:
。
其它类型的未定式极限其它是类的未定式
(1)对于型的函数极限,要先把这种类型的极限化成型或型极限。若为,那么可将化成() 或者(),然后用洛比达法则求解。
例4 求极限
解用恒等变形,, 这是一个型的极限,再用洛比达法则求解。=.
(2) 对于、、型的未定式极限,要先对底函数取对数,
将其化为型或型,再用洛比达法则求解。
例5 求极限().
解析,对x取对数,使函数变为的形式。然后利用上题的方法求解。
解=,其中
=故=e=1。
在运用洛比达法则时,应该注意以下问题:
①洛比达法则中的求导是分别对分子和分母求导,而不是对整个式子的求导。
②倘若最后所得的极限不存在,并不代表函数无极限,可以换
用其它方法求函数极限。
③在运用时要注意洛比达法则所要求的条件。
用代换法求函数极限
洛比达法则成功的解决了未定式极限的问题,但有时函数比较复杂,若使用洛比达法则较麻烦,这时可以将函数用其它形式的函数等价代换,化繁为简,这就是用代换法求极限。
换用马克劳林公式求函数极限
马克劳林公式:
例6
解首先将下列初等函数化成马克劳林公式
,= , ,
代入得= 。
注:在应用马克劳林公式时,要用相同幂次数的来代换,这样函数才能化繁为简。
利用等价无穷小代换法求函数极限
当时,有下列常用的一组等价无穷小: ,