文档介绍：圆的切线(习题课)
知识要点复习
1. 证明直线和圆的相切的基本思路:
已知半径------- 直接证直线与半径垂直;
没有半径-----
有公共点------“连半径,证垂直”
(如例1)
无公共点------“作垂线,证半径”
(如例2)
O
C
B
A
D
E
1
2
3
4
例1:已知: 如图 Rt△ ABC中,∠C=900, 以AC为直径
的⊙ O交斜边 AB于D,OE∥AB交BC于E
求证: DE是圆O的切线
证明:连结OD
∵OE∥AB,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
又∵OA=OD,
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠4
在△OCE和△ODE中
OC=OD,∠2=∠4,OE=OE
∴△OCE≌△ODE.
∵∠C=∠900
∴∠ODE=900,即DE⊥OD.
∴DE是⊙O的切线。
分析: 要证DE是⊙O 的切线,只要证明DE经过⊙O
在
⊙O 上,因此连结OD,只要证明DE⊥ OD.
G
H
O
E
F
B
A
D
C
例2:已知: 如图△ABC中AD⊥BC,AD= BC , E,F
分别是AB,AC的中点,AD与EF相交于H,
求证: 以EF为直径的⊙ O于BC相切
1
2
证明:作OG⊥BC,垂足为G
∵E,F分别是AB,AC的中点
∴EF∥BC,且EF= BC。
∴H是AD的中点,即HD= AD.
∵AD= BC.
∴AD=EF
∴HD= EF
∵AD⊥BC, OG⊥BC, EF∥BC,
∴OG=HD= EF
∴OG是⊙O的半径。
∴以EF为直径⊙O的与BC相切
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
分析: 要证BC与⊙ ⊙ O 上哪一点所以只
能作圆心 O到BC的垂线段OG然后证明OG等于⊙ O的半径
范例提炼
如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB
连结OC
∵CD是⊙O的切线∴OC⊥CD
又∵CD⊥AD∴OC∥AD ∴∠1=∠3
又∵OA=OC
∴∠2=∠3 ∴∠1=∠2
即AC平分∠DAB
证明:
小提示:连结圆心与切点是作辅助线常用的方法之一.
3
2
1
O
B
A
C
D
如图,AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点,AD⊥CD,AC平分∠DAB.
求证: CD是⊙O的切线
变式1
变式2
如图,AB为⊙O的直径, AC平分∠DAB ,CD是⊙O的切线.
求证: AD⊥CD
3
2
1
B
O
A
C
D
变式导练
已知:如图, AB是⊙O的直径,⊙O过BE的中点C,CD⊥AE.
求证:DC是⊙O的切线.
证明:
连结AC,OC
∵AB为⊙O的直径∴AC⊥BE
又∵BC=EC∴AE=AB ∴∠1=∠2
又∵OA=OC∴∠2=∠3∴∠1=∠3
∴AE∥OC
∵CD⊥AE
∴DC⊥OC
∴DC是⊙O的切线.
两图比较
3
2
1
B
O
A
C
D
E
B
O
A
C
D
B
O
A
C
D
E
能力提高
已知:AB是⊙O的直径, ⊙O过AC的中点,DE⊥BC,垂足为E.
⑴这些条件你能推出哪些正确的结论?(,写出3个结论即可)
⑵当∠ABC为直角时,其他条件不变,除上述结论外,你还能推出哪些正确的结论?(要求将图画出,写出4个结论取即可)
E
D
C
O
B
A
如图,已知,AB=8,BC=6,AC=10,∠A的平分线
交BC于D,E为AB上一点,DE=DC,以D为圆
心,:
(1)AB是⊙D的切线;
(2)AC是⊙D的切线;
(3)AB+EB=AC.
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