文档介绍：:..《高等代数(上)》:学****笔记这是我自学的笔记做成的电子档,其中有许多注释,尽量深入浅出,以供大家学****有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同,但意思是一样的,祝大家都能通过考试。第一章行列式§(或写为|D|) 这是矩阵,注意区别这是三元线性方程组代数和右下斜线为正左下斜线为负3阶行列式偶排列,正号奇排列,负号§,有n!个n阶排列判断逆序数的奇偶性§§、行列式转置值不变: 2、k可以乘上某行(列): 3、加法:某行之和展开为两行列式之和: 4、互换两行(列):负号 5、两行相同(成比例):零值 6、某行乘以k加到另一行:值不变所在行列的和(同等于逆序数τ)§:删去i,j所在的行与列后得到的n-1阶行列式代数余子式n阶行列式表示所有可能的差i>j如:(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)§§(b在1列)类似左边该解法适用于n阶当时,方程组有唯一解:只有当常数项b不全为零时,且s=n时才可用克莱姆法则§:反复对方程进行row变换,最后剩下一个上三角矩阵。如果线性方程组,则初等变换后的上三角矩阵,元首都不为0。§ n维基本向量组§: 零向量: 负向量: 行向量与列向量: §=n,有唯一解rank<n,有无穷多解线性组合由向量组线性表出常数项为0的充要条件α线性相关有待更进一步补充α线性无关K有解,且不全0K只有零解时不一定不能线性表出不可逆,因为分母不能为0可逆r<n,称退化的r=n称非退化(或满秩)特征值有重根,不一定相关特征值无重根一定无关极大线性无关组:每个向量都不能被前面某些向量线性表出例不能表出,即§=极大线性无关组的向量个数详见书P154-155页例6§:求梯阵注:如果是求矩阵化和求特征值,只需求基础解系,又称特征向量第二步:求一般解 n-r个第三步:求特解γ0 第四步:求齐次的一般解即即n维基本向量组第五步:求基础解系第六步:答:得全部解基础解系特解全部解第三章矩阵附1:矩阵名词汇总:~~方阵: 系数矩阵: 增广矩阵: 左下:对角线左三角形梯阵: 约化梯阵: 三角矩阵: 对角线上的元素对角矩阵: 单位矩阵: 零矩阵: 数量矩阵: 转置矩阵: 分块矩阵: b即系数Rank即矩阵的秩满秩矩阵: 逆矩阵: 伴随矩阵: 等价矩阵: 初等矩阵: 正交矩阵: 相似矩阵: 约当形矩阵:二次形矩阵:实对称矩阵:λ即特征值(半)正定矩阵:(半)负定矩阵:不定矩阵: 标准形矩阵:~~~~附2:一般n维线性方程组、s×n维矩阵、n维向量组的表示法注:全为0时,称齐次线性方程组不全为0时,称非齐次线性方程组注:s为行数,n为列数(未知数个数)附:有的书行数用m表示注:这个既可理解为:基础解系的系数也可以理解为:矩阵对角化后对角线的元素还可以理解为:二次型的特征值(同上句)附:本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量,但王老师或某书中用“”表示,我认为不错,不易混淆。§(减),即1、加(减)法:性质:交换律:结合律:2、乘法:例:201×××++=5注:A的|row|=B的|column|性质:(当,称可交换)结合律:k次幂:非交换律:详见书P183页AB§§、求aij的代数余子式Aij2、对应的元素要转置伴随矩阵:求逆公式:§:初等矩阵:标准形:同时做行、列变换,对角线为1的个数=r附:这是一个求逆的简便方法,但易出错,3阶矩阵建议用求逆公式。用单位矩阵求逆:§:又称正交向量组,一定线性无关向量组的内积内积公式任意两行或列的内积必为0分配律:结合律:交换律:内积性质:详见书P219页例1正交化:附:由于向量通常是指列向量,如把改更易理解,谨记!施密特正交化方法(又称归一化)正交向量组单位化:注:这里我设,数学中并没有明确规定符号正交单位向量组第四章矩阵的对角化§、反身性:2、对称性:,且有矩形,且有矩形3、传递性:4、行列式等值:11、有相同的特征多项式12、有相同的特征值13、有相同的迹(即对角线元素个数)5、同时可逆or不可逆6、7、8、9、10、对角矩阵: 注:这里的Ai是指分块矩阵,不是代数余子式准对角矩阵: §