文档介绍：竞赛数学中的几种解题思维方法
【】系统地讨论了竞赛数学的几种常用的解题理论、解题思维和方法。有助于解决竞赛数学中遇到的常见问题。具有一定的可操作性。
【关键词】构造法;反证法;数学归纳法;染色法;赋值法
随着数学竞赛的发展,已逐步形成一个特殊的数学学科一一竞赛数学。它涉及到数学竞赛的内容、思想和方法;也涉及到数学竞赛教育和数学课外教育的本质、方法、规律和途径问题。根据竞赛数学的题目特点,本文归纳出其中常见的几种解题思维方法。
一、构造法
解题通常在问题给定的系统里由题设推出结论。但对某些问题(例如存在性问题,条件与结论相距较远的问题等), 直接推理有时不能顺利进行,因而不得不寻找某种中介工具沟通条件和结论的
联系,这种通过构造题目本身所没有的解题工具,去实现解题的方法,就是构造法。
例1:证明对于和为1的正数不
等式
成立。
证明:设A是不等式的左边,构造
说明B的构造受下式启发
下面求证:利用不等式即得
二、反证法
一个命题,当我们不易或无法直接证明时,就应当想到用反证法尝试。可以概括为:若肯定定理的假设而否定其结论,就会导出矛盾。
例2:试证(1)如果正整数n使方程乂3-3\丫3+¥3=0有一组解(x,y)那么这个方程至少有三组整数解。
(2)当n=2891时,上述方程无整
数解。
证明:(1)设(xO,yO)是方程的一个解,令 xO=yO+yl,
则(yO+yl) 3-3 (yO+yl) yO2+yO3=n 化简后得(-yO) 3-3 (-yO) yl2+yl3=n。
所以(xl,yl) = (-yO,xO-yO)也是方程的解,且(xl,yl)乒(xO, y0)o 事实上若 xl=xO,yl=yO,则-yO=2yO,得 y0=0, x0=0o代入原方程得n=0,这与n 是自然数矛盾。
再令,代入已知方程,化简后得。
所以也是方程的一个解。类似上面局部反证,又证,,故方程有3组不同的解。
(2)假设有整数,
因为所以。
这只有下列三种情形可行,,。
根据(1)所证同时为方程的解,故后两种情况又归结为第一种情况,令代入已知方程有
而2891 = 2 (mod9),方程两边对模 9不同余,矛盾,故己知方程无整数解。
三、数学归纳法
数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一。它在数学各个分支都
有广泛应用。其实质在于:将一个无法
(或很难)穷尽验证的命题转化为证明
两个普通命题:“p(l)
和“若p (k)
真,则p(k+l)真”,从而达到证明目的例3:已知对任意,有,求证:。
证明:(1)当时,由,命题成立。
(2)假设当时,命题成立。即当因为
又
于是
因为,所以
又因为,故
解得(舍去).
所以时命题也成立。从而对,命题成立。
四、染色法
染色法,即是指根据问题的情境, 把问题的对象适当地染上若干种颜色, 从而把问题转化为染色问题而加以解决的一种解题思想方法。
用染色法解题,其关键是根据问题的特点,选取恰当的染色方法对问题的
对象进行染色,从而把问题转化为熟悉的或易于解决的问题。
例4:有17位科学家,其中每一个人和其他所有的人通信。他们的通信中只讨论三个题目。求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目。
证明:用平面上无三点共线的17个点分别表