文档介绍：四、图形变换与图形剪取算法
概念
几何变换(二维、三维)
计算机图形学中的变换
图象变换
线段的矩形窗裁剪
多边形的矩形窗裁剪
课程大纲
1. 概念
基本图形变换:
几何变换:平移,放缩,旋转,反射,错切
投影变换:平行投影,透视投影
计算机图形变换:
图例变换:模型坐标系变换到世界坐标系
取景变换:世界坐标系变换到观察(参考)坐标系
视见变换:观察(参考)坐标系变换到规范化坐标系(三维投影)
图象变换:规范化坐标系变换到规范化坐标系
图形显示通过变换实现:
不同的显示环境;(显示器,图形窗口,绘图纸等)
不同的显示比例;(同一图形窗口下的zoom)
不同的观察方向;(从不同的角度观察物体)
三维物体的二维表现;
变换:求同一点在不同坐标系下的值。
[x,y,z] = [x,y,z]*M
这里M为变换矩阵。
.p(x,y,z)
x
y
z
.p(x,y,z)
x
y
z
性质:图形的方程和点的坐标是依赖于坐标系的选择。
正交变换:将直线变换为直线。
坐标变换公式:
是表示同一点对于不同的坐标系的坐标之间的关系;
点变换公式:
是表示不同的点对于同的坐标系的坐标之间的关系;
(即运动前和运动后的位置)。
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四、图形变换
概念
几何变换(二维、三维)
计算机图形学中的变换
图象变换
线段的矩形窗裁剪
多边形的矩形窗裁剪
课程大纲
(二维、三维)
二维: 列向量表示的点坐标:P=
(1)平移:点P平移到点P,设平移距离为tx,ty,则:
x= x + tx
y= y + ty 又设:T=
则 P= P + T
X
P(x,y)
P(x,y)
Y
tx
ty
平移是刚体变换,直线段或多边形的平移可通过每个顶点的平移,再在新位置重画图形得到。
曲线的平移:先平移中心坐标和控制点,再在新位置上重画图形。
(2)缩放:缩放变换改变物体的尺寸。
多边形的顶点P乘以缩放系数产生变换的坐标点P,设缩放系数为sx,sy,则:
x= x sx
y= y sy 又设:S=
则 P= S P
P(x,y)
P(x,y)
其中:sx为x方向的缩放系数,
sy为y方向的缩放系数,
当0<=sx,sy<=1时,缩小物体,
当1<=sx,sy时,放大物体,
若sxsy,则x方向和y方向的缩放比例不同。
上式为相对原点的缩放。
X
Y
sx =2, sy =2的等比例放大图
(3)旋转: 相对坐标原点的旋转:
x=xcosθ- ysinθ
y=xsinθ+ ycosθ又设:R=
则 P= R P
P(x,y)
P(x,y)
Y
θ
当θ>0时,P点为逆时针旋转,
当θ<0时,P点为顺时针旋转,
旋转是刚体变换,直线段或多边形的旋转可通过每个顶点的旋转,再在新位置重画图形得到。
曲线的旋转:先旋转中心坐标和控制点,再在新位置上重画图形。
X
(4) 组合变换:
平移后旋转再平移:P= R (P +T1)+ T2
其中: T1= R=
P(x,y)
P(x,y)
Y
X
T2=
tx
ty
绕任意点A旋转
平移后缩放再平移:P= S (P+ T1)+ T2
其中: T1= S=
T2=
P(x,y)
Y
绕任意点A缩放
X
tx
ty
A
P(x,y)
A
同一图形的变换,其每一顶点的变换运算是相同的;
减少运算的有效方法是:求出组合的变换矩阵,再进行顶点的变换。
关键:将平移变换的加转换为乘,由矩阵运算的结合律求出组合的变换矩阵。
引入齐次坐标系: n维空间物体用n+1维空间表示。
则: P= 的齐次坐标表示为
平移变换为:
=
即:P= T P