文档介绍：§ 算术基本定理
定理1 任一整数都可以表示成素数的乘积,且在不考虑乘积顺序的情况下,该表达式是惟一的。即
, (1)
其中是素数。并且若有
,
其中是素数,则
。
证由第一节定理2(1)式对所有大于1的整数都成立,下证惟一性。设还有
,
其中是素数,则
(2)
因此,,存在使得,但都是素数,故
同理可证存在使得,即有
所以。将(2)式的两端同时消除,则有
同理可以推出,依次类推得到
把式(1)中相同的素数合并,即得
,, (3)
称(3)式为整数的标准素因数分解式。
应用上一节性质2(ⅴ)关于整除的性质可以得到如下推论
推论1 设整数由(3)式给出。那么是的正因数的充分必要条件是
,, (4)
从而整数的正因数的个数为
推论1告诉我们:只要知道了正整数的标准分解式,它的所有正约数就全知道了,且由等式(4)给出。
例1 设,证明:。
在实际应用中,为了简便,我们经常使用整数素因数分解如下的形式
,,
它与(3)式的区别是允许某些,很明显这种分解方法不是惟一的,有了这种分解形式,我们很容易得到如下关于最大公因数和最小公倍数的求解方法。
推论2 设整数有如下素因数分解形式
,,
(5)
记, ,,则有
,
进一步由恒等式有
。
例2 设都是正整数,则有
利用整数的惟一分解式,可以得到如下结果,这一结果将用于高次剩余中原根的构造。
例3 设是两个正整数,则存在正整数,满足
§ 习题
设是正整数的最小素因数,证明:若,则是素数。
设。证明:的充要条件是。
证明对于一切整数,n2+2n+12都不是121的倍数。
证明:(1);(2)。
证明对于任意整数,是整数。
证明:当为大于1的正整数时,
不是整数。
设为大于1的正整数,若对任意的整数,由可推出或至少有一个成立,则一定是素数。
设n>2,证明在n和n!之间一定有一个素数。
设是奇数。证明:必有正整数使得。
,并求不定方程在下的一切整数解。
如果一个正整数具有20个正因数,问这个正整数最小是什么?
求满足的最小正整数,并且证明的全部正因数的乘积等于。