文档介绍：第五章图形变换
三维图形变换
三维图形变换可以在二维图形变换方法基础上增加对z坐标的考虑而得到,其基本变换也为平移、比例、旋转、对称、错切等五种变换。在二维图形变换的讨论中我们已经使用了齐次坐标表示法,其变换矩阵是3×3阶矩阵。对于三维空间,则变换矩阵需要是4×4阶矩阵。在三维图形变换的讨论中,仍采用假定坐标系不动,图形变换的方式。并且假定变换是在右手坐标系下进行。
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平移变换
平移变换是使三维图形在空间平移一段距离而形状和大小保持不变。已知空间一点的坐标是P(x,y,z),沿X、Y及Z轴方向分别平移tx 、ty、tz,后,得新坐标P(x′,y′,z′)的表示式为:
矩阵形式为:
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比例变换
相对于原点的比例变换的表示式为:
矩阵表示是:
式中sx、sy和sz分别表示点P(x,y,z)沿X、Y及Z轴方向相对坐标原点的比例变换系数。比例变换系数可赋予任何正数值, 当值小于1时缩小图形,值大于1则放大图形。当sx、sy和sz被赋予相同值时,使图形产生三个坐标轴方向相对比例一致的变换, sx、sy和sz值不等时则产生不一致的变换。
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相对于给定点Pc(xc,yc,zc)的比例变换的矩阵表示为:
旋转变换
三维图形作旋转变换时,需要指定一个旋转轴和旋转角度。二维图形的旋转变换仅发生在XY平面上,而三维旋转变换则可能围绕空间任意直线轴进行。通常规定图形绕某轴逆时针方向旋转时角度为正。如果使用左手坐标系,或图形不动而坐标系旋转时,则方向相反。
旋转变换前后三维图形的大小和形状不发生变化,只是空间位置发生了变化。
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绕坐标轴的旋转变换是最简单的旋转变换,当三维图形绕某一坐标轴旋转时,图形上各点在此轴的坐标值不变,而在另两坐标轴所组成的坐标面上的坐标值相当于一个二维的旋转变换。
(1) 绕Z轴旋转变换
三维图形绕Z轴旋转时,图形上各顶点z坐标不变,x、y坐标的变化相当于在XY二维平面内绕原点旋转。所以绕Z轴旋转变换的表达式为:
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矩阵表示为:
(2) 绕X轴旋转变换
三维图形绕X轴旋转时,图形上各顶点x坐标不变,y、z坐标的变化相当于在YZ二维平面内绕原点旋转。所以绕X轴旋转变换的表达式为:
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矩阵表示为:
(3) 绕Y轴旋转变换
三维图形绕Y轴旋转时,图形上各顶点y坐标不变,x、z坐标的变化相当于在XZ二维平面内绕原点旋转。所以绕Y轴旋转变换的表达式为:
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矩阵表示为:
(4)绕三个坐标轴的旋转变换
如果做绕多于一个坐标轴的旋转变换,则需要考虑旋转顺序。因为不同的旋转顺序会得到不同的结果。例如,一般情况下T=TxTy与T=TyTx是不相等的。因为:
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当做绕多于一个坐标轴的旋转变换时,一般采用Y轴-X轴-Z轴的顺序进行变换,这同日常生活中人们观察物体的习惯顺序相似,先观察两侧(绕Y轴),再观察上下(绕X轴),再观察纵深(绕Z轴)。其变换矩阵为:
T﹦TyTxTz
更一般的旋转变换是绕空间任意轴作旋转变换。我们可以用平移变换与绕坐标轴旋转变换的复合变换得到其变换公式。如果给定旋转轴和旋转角,可以通过平移及旋转给定轴使其与某一坐标轴重合,绕坐标轴完成指定的旋转,然后再用逆变换使给定轴回到其原始位置。各次变换矩阵乘起来即形成复合变换。
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