文档介绍：第二讲数学预备知识
一、几个常用的函数
二、卷积与相关运算
三、δ函数性质
一、几个常用的函数 1、矩形函数
矩形函数是最常用的函数之一,它的定义为:
函数图像见下图。当x0为0,a为1时,矩形函数为rect(x),它以x为0的轴对称,宽度为1,高度为1。当自变量x代表时间变量时,光学中可以用它来描写照相机快门。其中a的绝对值便是暴光时间。
一、几个常用的函数 1、矩形函数
二维矩形函数的定义为:
函数图形见下图:
一、几个常用的函数 1、矩形函数
二维矩形函数可以用来描写不透明屏上矩形孔的透过系数。由上式描写的矩形孔长为|a|,宽为|b|,中心在x=x0、y=y0的点。无限大不透明屏上的单缝的透过率也可以用矩形函数来描述,若单缝以x=x0为中心线,宽度为a,则描述它的透过率函数为:
a
一、几个常用的函数 1、矩形函数 2、SINC函数
Sinc函数定义为:
上式定义的sinc函数在x=x0处有最大值为1,两个第一级零值之间的宽度(称为主瓣宽度)为2|b|,显然该宽度随着|b|的减小而减小。在大学物理光学中,我们已经知道单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数是sinc函数,并且主瓣宽度与缝宽成反比。sinc函数和矩形函数(单缝)之间的这一紧密联系,使sinc函数在傅里叶变换中经常用到。对于x0=0,b=1的情况,sinc函数可记作sinc(x)。
一、几个常用的函数 1、矩形函数 2、SINC函数
Sinc函数图形:
δ函数用来描写一种极限状态,它不是普通函数,而是广义函数。
看一个例子。图示是一理想会聚透镜,平行光通过L后成一会聚光束,在L后放一与光抽垂直的平面P,当透镜孔径的衍射可以忽略时,P上得到一个界线清晰的圆形亮斑。随着P向后焦面趋近,亮斑的直径越来越小,照度A(x,y)越来越大。在P与后焦面重合这种极限情况下,屏上照度已无法用普通函数来描述,它在焦点值为无穷,在焦点以外其值为零。
也就是后焦面上的照
度A(x,y)满足以下两
个方程:
一、几个常用的函数 1、矩形函数 2、SINC函数 3、δ函数
L
P
F’
δ函数的定义1:
说明:δ函数用来描写脉冲这样一类物理现象。单位能量的瞬间电脉冲用时间为变量的δ(f)来描写。空间变量的δ函数可以描写单位光通量的点光源的面发光度等。这些物理量都满足δ函数定义式。也就是在这些脉冲所在点之外其值为零,而包含脉冲所在点在内的任意范围内的积分等于1。当然无限窄的脉冲只是一种理想情况,实际的物理状态总是只能无限趋近这种理想情况。
一、几个常用的函数 1、矩形函数 2、SINC函数 3、δ函数
一、几个常用的函数 1、矩形函数 2、SINC函数 3、δ函数
再举一例:对于如下函数序列:
其中n是不为零的正数。当n逐渐变大时,fn(x)不为零的范围逐渐变小,而在此范围内fn(x)的值却逐渐变大。图中画出了n=l、2、4三种情况的图像。不论n为何值,图像总面积均为1。不难想象,
当n趋于∞时,fn(x)的极
限是符合上述δ函数的定
义的,因此可用普通函数
序列的极限来定义δ函数。
一、几个常用的函数 1、矩形函数 2、SINC函数 3、δ函数
δ函数定义二:
若存在函数序列fn(x,y),它满足方程:
则:
例如: