文档介绍：目录
中文摘要 1
英文摘要 1
引言 2
2
2
4
5
5
利用微分中值定理构造辅助函数解题 9
10
10
应用积分中值定理构造辅助函数解题 12
. 14
16
16
17
结束语 17
参考文献 18
摘要
构造辅助函数法是微积分学中,通过构造辅助函数对连续函数性质及一元微积分中的一些定理的证明以及运用这些定理构造辅助函数证明一些不等式,探讨构造辅助函数解题时的一些原则和方法.
关键词:构造辅助函数;连续函数;一元微积分;定理;不等式
Abstract
Constructing an auxiliary function is an important method in Calculus. By constructing an auxiliary function can prove some characters of continuous function and some theorems of Calculus with Single Variable, and use these theorems can prove some inequalities. Explore some Principles and Methods of constructing auxiliary function
.
Keywords: Constructing auxiliary function;Continuous function;Calculus with Single Variable;Theorems;Inequalities.
引言
,就是根据件或结论所具有的特征、性质,构造出满足条件或结论的数学模型,:直观性和可行性,正是这两个特性,在数学应用中经常运用它.
构造法的特点是化复杂为简单、.
本文将从以下四个方面来对选取和构造辅助函数作出讨论:
1、构造辅助函数在连续函数相关性质证明的应用;
2、构造辅助函数在证明微分中值定理中的应用;
3、构造辅助函数在证明积分中值定理中的应用;
4、构造辅助函数在证明不等式中的应用
最后根据以上四个方面中的应用总结构造辅助函数的一些原则、方法及注意事项.
(最值存在定理)
若函数在闭区间上连续,则它在上一定有最大值和最小值,即存在和,对于一切,成立
.
(最值存在定理的推广)
若函数在开区间上连续,且与都为有限值,则
(1)若存在,使,则在内能取到最大值.
(2)若存在,使,则在内能取到最小值.
证明(1)将在闭区间上作连续开拓,做辅助函数
,
则是上的连续函数,所以在[上可取得最大值,因为存在,使,,则.
若,则也是在上的最大值,故是在内的最大值点.
若,则由题设知,是在内的最大值点.
综上可知,在内能取到最大值.
同理,可证明(2).
将最值定理进一步推广把开区间推广到(-+)上即:
(最值存在定理再推广)
若函数在(-+)上连续,且与都为有限值,则
(1)若存在(-+),使,则在(-+)内能取到最大值.
(2)若存在(-+),使,则在(-+)内能取到最小值.
证明此定理,,其中是到(-+)的映射,满足,这样的定义域是,只要连续,就有连续这样就可以利用定理2的结论来证明了.
(零点存在定理)
若函数在闭区间上连续,且,则一定存在,使.
(介值定理)
若函数在闭区间上连续,则它一定能娶到最大值和最小值之间的任何一个值.
证明由最值存在定理,存在,,使得
,.
不妨设<,对任意一个中间值C,.考察辅助函数
.
因为在上连续,所以在闭区间上连续,而且有,.由零点存在定理,必有,使得即.
如图1所示,函数在区间上的图