文档介绍：关于向量内积的基本知识点:
基本概念:
设 V 是实数 R V 中任意两个向量α, β都按某一法则对应于 R 中一个唯一确定的数, 记作( α, β), 且满足
(i) ( α, β)=( β, α);
(ii) ( α+β, γ)=( α, γ) + (β, γ);
(iii) ( kα, β) = k(α, β);
(iv) 当α时, ( α, α)>0;
其中的α, β,γ是 V 中任意向量, ( α, β) 为向量α, β的内积. 而 V 叫做对这个内积来说的一个欧几里德(Euclid) 空间, 简称欧氏空间.
举例说明:
例1: 在 Rn 里, 对于任意两个向量, , 规定:
容易验证, 关于内积的公理被满足, 因而 Rn 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间。
例2: 在 Rn 里, 对于任意两个向量, , 规定:
不难验证, 这样Rn也作成一个欧氏空间. 由以上两个例子可以看出, 对同一个线性空间可以引人不同的内积, 使它作成欧氏空间
例3: 令 C[a,b] 是定义在[a ,b] f(x), g(x) C[a,b] , 规定:
根据定积分的基本性质可知, 关于内积的公理都被满足, 因而 C[a,b] 作成一个欧氏空间.
一些性质:
关于欧氏空间 V 中的向量α, β,γ和实数a有以下基本性质:
(1) (0, α)=( α, 0 )=0;
(2)   ( α,β十γ)=( α, β) 十( α, γ);
(3)   ( α, aβ) = a( α, β).
进一步, 对于 V 向量,及 R 中实数和, 必有
长度: 由于对欧氏空间的任意向量α来说, 句(α, α) 总是一个非负实数, 我们可以合理地引人向量长度的概念. ( α, α) 的算术平方根, 叫做α的长度,记作| α|, 即| α| = .
由定义可知, 0, 非零向量的长度是正数. 对欧氏空间的任意向量α和任意实数k,
|kα| = == |k|||
即实数k 与向量α的数量乘积的长度等于k的绝对值与α长度的积.
长度为 1 , 则
是一单位向量, 用这种方式得到单位向量叫做α的单位化. 以下定理给出了一个重要的不等式, 通常称为哥西一施瓦兹不等式
定理1: 在在一个欧氏空间里, 关于任意向量α, 卢有不等式
等号成立当且仅当α,线性相关
证明思路: 应用二次函数。
由定理1, 我们可以得到很多重要不等式。如:哥西(Cauchy) 不等式;施瓦兹( Schwarz ) 不等式等。
夹角:
这样有意义, 称其为的夹角.
这样, 欧氏空间任意两个非零向量有唯一的夹角。为方便起见, 我们规定: 零向量与任何向量的夹角为,
如果()=0, 则称欧氏空间的二个向量是正交的.
不难知道,