文档介绍：第3讲全等三角形及其应用
【知识精读】
1. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法:若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形,记作“△ABC≌△A′B′C′其中,“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;
4. 寻找对应元素的方法
(1)根据对应顶点找
如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
(2)根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
(3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折
如图(1),DBOC≌DEOD,DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180°得到的;
旋转
如图(2),DCOD≌DBOA,DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180°得到的;
平移
如图(3),DDEF≌DACB,DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法:
(1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理
(2) 推论:角角边定理
6. 注意问题:
(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等;
(2)不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即AAA;b :有两边和其中一角对应相等,即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识。
【分类解析】全等三角形知识的应用
证明线段(或角)相等
例1:如图,已知AD=AE,AB=:BF=FC
(2)证明线段平行
例2:已知:如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,DE=BF,AF=:AB∥CD
(3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3:如图,在△ ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE. 求证:CD=2CE
(4)证明线段相互垂直
例4:已知:如图,A、D、B三点在同一条直线上,ΔADC、ΔBDO为等腰三角形,AO、BC的大小关系和位置关系分别如何?证明你的结论。
5、中考点拨:
,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使DF=DE,连结FC.
求证:∠F=∠A.
例2 如图,已知△ ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到