对称矩阵的性质.doc

文档介绍：对称矩阵的基本性质
在学习中我们发现,对称矩阵中的特殊类型如:对角阵,实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现,以下首先介绍一些基本概念.
1 对称矩阵的定义
定义1 设矩阵,,:
1. 对称矩阵一定是方阵.
2. ,对任意、.
定义2 形式为的矩阵,其中是数,通常称为对角矩阵.
定义3 若对称矩阵的每一个元素都是实数,则称为实对称矩阵.
定义4 若矩阵满足,:
1. 反对称矩阵一定是方阵.
2. 反对称矩阵的元素满足,当时,,.
下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.
2 对称矩阵的基本性质
性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.
性质2 设为阶方阵,则,,是对称矩阵.
性质3 设为阶对称矩阵(反对称矩阵),若可逆,则是对称矩阵(反对陈矩阵).
性质4 任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.
性质5 设为对称矩阵,与是同阶矩阵,则是对称矩阵.
性质6 设、都是阶对称矩阵,证明:也对称当且仅当、可交换.